[論文レビュー] Stability of fractional-order nonlinear systems by Lyapunov direct method

Hoang The Tuan, Hieu Trinh|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、先行研究の主な限界を克服することで、分数階非線形系における安定性を分析するための厳密な分数階ラプラシアン関数法を提案する。解の全域的存在や擬似状態の微分可能性を仮定せず、分数階微分不等式およびボルテラ積分方程式の性質を用いて、凸ラプラシアン関数のもとで漸近的安定性を証明する。

ABSTRACT

In this paper, by using a characterization of functions having fractional derivative, we propose a rigorous fractional Lyapunov function candidate method to analyze stability of fractional-order nonlinear systems. First, we prove an inequality concerning the fractional derivatives of convex Lyapunov functions without the assumption on the existence of derivative of pseudo-states. Second, we establish fractional Lyapunov functions to fractional-order systems without the assumption on the global existence of solutions. Our theorems fill the gaps and strengthen results in some existing papers.

研究の動機と目的

• 分数階微分の計算における課題により、分数階非線形系に対する厳密な安定性解析手法の不足に取り組む。
• 従来の分数階ラプラシアン手法が解の全域的存在や擬似状態の微分可能性に依存しているのを克服する。
• 凸ラプラシアン関数と分数階微分を用いて、数学的に整合性のある安定性解析の枠組みを提供する。
• 特に、解の挙動や微分の存在に関する誤った仮定に依存する先行研究の証明における重要なギャップを埋める。
• 最小限の正則性仮定のもとで、ラプラシアンの第二法則を分数階系に適用するための堅固な理論的基盤を構築する。

提案手法

• 分数階微分を持つ関数の特徴づけを用いて、擬似状態の微分可能性を仮定しないラプラシアン候補関数を定義する。
• ボルテア積分方程式の正の解の性質を応用し、最小限の正則性のもとで安定性条件を導出する。
• 擬似状態の微分の存在を仮定しない凸ラプラシアン関数の分数階微分に関する新しい不等式を確立する。
• 分数階系の解の全域的存在を仮定しない、革新的な分数階ラプラシアン関数フレームワークを導入する。
• カプート分数階微分を用い、条件(V.i)〜(V.iii)を満たすラプラシアン関数を構築することで、漸近的安定性を保証する。
• 理論的証明と2つの具体例（立方非線形性を有する非線形系を含む）を用いて、手法の有効性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解の全域的存在を仮定しないで、分数階非線形系に適用可能な厳密なラプラシアン法を開発することは可能か？
• RQ2 擬似状態の微分の存在を要件としないで、分数階ラプラシアン安定性条件を確立することは可能か？
• RQ3 最小限の正則性仮定のもとで、凸ラプラシアン関数の分数階微分不等式をどのように証明できるか？
• RQ4 ラプラシアン関数を用いた分数階系における漸近的安定性の必要十分条件は何か？
• RQ5 より強固な理論的枠組みを用いて、文献に見られる誤った証明を是正することは可能か？

主な発見

• 本稿では、擬似状態の微分の存在を仮定しないで、凸ラプラシアン関数の分数階微分に関する新しい不等式を証明する。
• 解の全域的存在を仮定しない分数階ラプラシアン関数法を確立する。
• 本手法は、対称正定値行列を有する線形系に適用され、自明解の漸近的安定性が証明される。
• 非線形系 $ {}^{C}D^{eta}_{0+}x(t) = -x^3(t) $ に対し、$ eta = 0.8 $ の場合に自明解の漸近的安定性が確認され、数値的軌道によって検証される。
• 著者らは、[6, 定理11]および[9, 定理2]における先行研究の欠陥を特定・是正し、誤った微分に基づく不等式に依存する誤った仮定を明らかにする。
• 理論的結果は、2つの具体例によって裏付けられ、初期値が $[-1,1]$ の範囲にある場合、解が有限時間（例：1000秒以内）に小さな近傍に収束することが示される。