[論文レビュー] Stability of Fractional-Order Systems with Rational Orders

Ivo Petráš|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2008

Advanced Control Systems Design参考文献 61被引用数 66

ひとこと要約

本稿は、時間領域および周波数領域解析を用いて、有理数型の分数階線形および非線形系の一般化された安定性条件を確立する。複素平面における固有値の位置に基づき、漸近的安定性の必要十分条件を導出し、安定性が固有値の偏角が分数階閾値に対して相対的にどのように位置するかに依存することを示している。主な結果は、共通階数系および非共通階数系、特にチエン系のようなカオス的系にも適用可能である。

ABSTRACT

This paper deals with stability of a certain class of fractional order linear and nonlinear systems. The stability is investigated in the time domain and the frequency domain. The general stability conditions and several illustrative examples are presented as well.

研究の動機と目的

• 有理数型の分数階線形および非線形系の一般安定性条件を確立すること。
• 時間領域および周波数領域の両フレームワークにおける安定性を分析すること。
• 固有値分布に基づく漸近的安定性の必要十分条件を導出すること。
• 微分階数が異なる非共通階数系への安定性解析を拡張すること。
• ダブル・スクロール・アトラクタのような分数階系におけるカオスの検出に実用的な基準を提供すること。

提案手法

• 微分方程式における初期条件の一貫性を確保するため、分数階微分のキャプト定義を用いる。
• 分数階微分にラプラス変換を適用し、初期条件がゼロの場合に s^r F(s) を得る。
• 複素平面におけるヤコビ行列の固有値解析により安定性条件を導出する。
• 共通階数系では、すべての固有値 λ に対して |arg(λ)| > qπ/2 が成り立つ場合に安定性が保証される。
• 非共通階数系では、det(diag(λ^{m q_i}) - J) = 0 の根によって安定性が決定され、γ = 1/m である。
• 長記憶特性を特徴付けるために、ミタグ・レフラー関数およびべき乗則減衰 (t^{-α}) を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数型の分数階線形系における漸近的安定性の必要十分条件は何か？
• RQ2 共通階数系と非共通階数系における安定性基準はどのように異なるか？
• RQ3 非線形分数階系がカオス的挙動を示すために満たすべき固有値条件は何か？
• RQ4 チエン系のような分数階カオス系の安定性を、固有値解析を用いて解析的に検証できるか？
• RQ5 ダブル・スクロール・アトラクタを生成するために必要な最小分数階数は何か？

主な発見

• 共通階数分数階系では、ヤコビ行列のすべての固有値 λ に対して |arg(λ)| > qπ/2 が成り立つ場合に漸近的安定性が達成される。
• 非共通階数系では、det(diag(λ^{m q_i}) - J) = 0 の根によって安定性が決定され、γ = 1/m であり、|arg(λ)| > γπ/2 を満たす必要がある。
• 階数 0.8, 1.0, 0.9 のチエン系は、|arg(λ)| = 0.1560 である不安定な固有値 λ₁,₂ = 1.2928 ± 0.2032j を有し、ダブル・スクロール・アトラクタを示す。
• チエン系におけるカオスの必要条件は q > (2/π) atan(|β|/α) であり、与えられたパラメータではこれを満たしている。
• 数値シミュレーションにより、初期条件 (−9, −5, 14) のもとで30秒間の間に3次元ダブル・スクロール・アトラクタが存在することが確認された。
• 分数階系における安定性挙動は、指数的減衰ではなくべき乗則減衰 t^{-α} で特徴づけられ、長記憶ダイナミクスを示している。