[論文レビュー] Stability of ground state degeneracy to long-range interactions

Matthew F. Lapa, Michael Levin|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2021

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、正確な基底状態 degeneracy を持つ特定のギャップあり量子多体系が、長距離（例えば、べき乗則に従う）相互作用のもとでも安定することを証明している。また、デジェネレートした基底状態間の残余エネルギー分裂が系のサイズに対して指数的に小さくなることを示している。著者らは、長距離相互作用に適応した収束するポリマー展開を用いて、ギャップの安定性と指数的に小さな分裂を厳密に確立し、従来の短距離相互作用に対する結果を長距離相互作用へと拡張している。

ABSTRACT

We show that some gapped quantum many-body systems have a ground state degeneracy that is stable to long-range (e.g., power-law) perturbations, in the sense that any ground state energy splitting induced by such perturbations is exponentially small in the system size. More specifically, we consider an Ising symmetry-breaking Hamiltonian with several exactly degenerate ground states and an energy gap, and we then perturb the system with Ising symmetric long-range interactions. For these models we prove (1) the stability of the gap, and (2) that the residual splitting of the low-energy states below the gap is exponentially small in the system size. Our proof relies on a convergent polymer expansion that is adapted to handle the long-range interactions in our model. We also discuss applications of our result to several models of physical interest, including the Kitaev p-wave wire model perturbed by power-law density-density interactions with an exponent greater than 1.

研究の動機と目的

• ギャップあり量子多体系における基底状態デジェネレシーが長距離相互作用のもとでも安定であることを確立すること。
• 長距離摂動のもとでも、デジェネレートした基底状態間の残余エネルギー分裂が系のサイズに対して指数的に小さくなることを証明すること。
• 実際の物理系（例：トポロジカル超伝導体など）に一般的に見られるべき乗則に従う減衰を示す長距離（例：べき乗則）相互作用へと、既存の短距離安定性結果を拡張すること。
• 正確な基底状態デジェネレシーを有する系における長距離相互作用を扱うための数学的枠組み――特に収束するポリマー展開――を構築すること。

提案手法

• べき乗則に従う減衰を考慮した修正された収束条件を導入することで、長距離相互作用を扱えるようにポリマー展開技法を適応させた。
• 摂動展開に寄与する関連配置の数を制限するために、最小の弱く連結されたポリマーの再帰的構成を用いた。
• 非連結な成分から段階的に連結ポリマーを構築する頂点拡大手続きを導入し、制御された和の性質を保ちながら収束性を維持した。
• 摂動級数における寄与の成長を制御するために、指数関数的およびべき乗則的要因を含む重み付きポリマーの和を適用した。
• 部分集合の数の和と $(\text{const})^m$ 要素を用いて、最小の弱く連結されたポリマーの数に対するバインドを確立し、収束性を保証した。
• 総寄与量が $e^{c\tilde{\rho}\rho}$ で有界であることを示すことにより、展開の収束を確立し、ギャップの安定性および指数的に小さな分裂を保証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギャップあり量子多体系の基底状態デジェネレシーは、長距離相互作用のもとでも安定するか？
• RQ2 長距離摂動のもとでも、デジェネレートした基底状態間の残余エネルギー分裂は、系のサイズに対して指数的に小さいか？
• RQ3 ポリマー展開法は、収束性と指数的バインドを保ちながら、長距離相互作用を扱えるように適応可能か？
• RQ4 正確な基底状態デジェネレシーを有する系において、イジング対称性を持つ長距離摂動のもとでもギャップは開いているままであろうか？

主な発見

• エネルギーギャップは長距離摂動のもとでも開いていることが保証され、系におけるスピンギャップの安定性が証明された。
• デジェネレートした基底状態間の残余分裂は、系のサイズに対して指数的に小さく、具体的には $e^{-cL}$ で有界である（$c>0$）。
• 修正された条件下でもポリマー展開は収束し、基底状態エネルギーへの摂動補正を厳密に制御可能であることが示された。
• 指数が1より大きいべき乗則に従う減衰を示す相互作用を持つモデル（例：キタエフ p波ワイヤー模型）にも適用可能である。
• 既知の短距離安定性結果を長距離相互作用へと一般化し、強固な基底状態デジェネレシーの理解における重要な空白を埋めた。