[論文レビュー] Stability of Majorana Edge Zero Modes against Interactions

Tohru Koma|arXiv (Cornell University)|May 23, 2022

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、偶数フェルミオン数の下で一般の弱い相互作用のもとで、相互作用するマヨラナ鎖におけるマヨラナ端縁ゼロモードおよび関連するスペクトルギャップの安定性を証明する。系列展開とリー＝ロビンソン境界を用いて、ゼロモードが局在し続け、ギャップが維持されることを示し、摂動のもとでも端モードのトポロジカル保護が保たれることを示す。さらに、この結果をラダー系に拡張し、脚の数が奇数の場合のZ₂インデックスの安定性を示す。

ABSTRACT

We study an interacting Majorana chain with an open boundary condition. In the case without interactions, the system shows a prototypical Majorana edge zero mode in the sector of the ground state with a spectral gap above the sector. We prove that both of the Majorana edge zero mode and the non-vanishing spectral gap are stable against generic weak interactions whose fermion parity is even. We also deal with the corresponding ladder systems, and discuss the $\mathbb{Z}_2$ index for the Majorana edge zero modes.

研究の動機と目的

• 一般の弱い相互作用のもとで、相互作用するマヨラナ鎖におけるマヨラナ端縁ゼロモードの安定性を確立すること。
• 基底状態の上にある非消滅スペクトルギャップが、同様の相互作用のもとで安定することを証明すること。
• 解析をマヨラナラダーシステムに拡張し、端モードのZ₂トポロジカルインデックスを定義すること。
• 弱い偶数パリティ摂動のもとで、マヨラナ端縁モードの偶奇性の区別が保たれることを示すこと。

提案手法

• 弱い相互作用のもとでマヨラナ端縁ゼロモード演算子 γ の系列展開を構築する。
• 時間順序積で生成されるユニタリ変換 U(g) を用いて、相互作用ハミルトニアンを自由形式に写像する。
• 指数的減衰よりも緩やかな関数を用いたリー＝ロビンソン境界を適用し、変換されたマヨラナ演算子の局在性を証明する。
• 非局所性を制御するため、局所的平均化手順 Π≥2m−1 を実装する。
• U(g)c2ℓ−1U(g)† の局所的分解 Δm(c2ℓ−1) を導出し、各成分のノルムが距離とともに指数的ではなく、より緩やかに減衰することを示す。
• 偶数フェルミオン数の演算子のみが交換子の境界に寄与することに依存しており、これにより安定性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様な一次元鎖においてフェルミオン数の偶奇性を保つ弱い相互作用のもとで、マヨラナ端縁ゼロモードは生存可能か？
• RQ2 基底状態の上にあるスペクトルギャップは、同様の相互作用に対して安定か？
• RQ3 複数の鎖（ラダー）が存在する場合、特に相互作用が導入された場合、端モードの安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 相互作用するラダーシステムにおけるマヨラナ端縁モードの安定性を特徴付けるトポロジカルインデックスは何か？
• RQ5 弱い偶数パリティ摂動のもとで、端モードの数の偶奇性は保存されるか？

主な発見

• 一般の弱い相互作用（偶数フェルミオン数）のもとで、マヨラナ端縁ゼロモード γ0 は安定的かつ局在的であり、収束する系列展開により証明された。
• 同様の相互作用のもとで、基底状態の上にあるスペクトルギャップは非消滅のままであり、トポロジカル保護が保証される。
• L脚のマヨラナラダーにおいて、L が奇数の場合、弱い偶数パリティ相互作用のもとでも、1つの非ペアリングされたマヨラナ端縁ゼロモードが存続し、Z₂トポロジカル安定性を示す。
• 端モードのZ₂インデックスは、偶数フェルミオン数の弱い摂動に対して頑健であり、ゼロモード数の偶奇性が保存されることを示唆する。
• リー＝ロビンソン境界を用いて、変換されたマヨラナ演算子 U(g)c2ℓ−1U(g)† の局在性が証明され、ノルムは端からの距離とともに指数的ではなく、より緩やかに減衰する。
• 変換された演算子を局所的成分 Δm(c2ℓ−1) に分解し、各成分のノルムが距離とともに指数的ではなく、より緩やかに減衰することに依存しており、物理的実現可能性が保証される。