[論文レビュー] Stability of Non-Linear Filters and Observability of Stochastic Dynamical Systems

Curtis McDonald, Serdar Yüksel|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2018

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、確率的非線形力学系における一般で計算可能な観測可能性の概念を導入し、期待値およびほとんど確実に、弱合併、全変動、相対エントロピーのさまざまな収束基準の下でフィルタ安定性を確立する。提案された枠組みは、加法的ノイズモデルを超える多様なシステムにおける安定性の検証を可能にし、既存の結果を一般化・拡張する。

ABSTRACT

Filter stability is a classical problem for partially observed Markov processes (POMP). For a POMP, an incorrectly initialized non-linear filter is said to be stable if the filter eventually corrects itself with the arrival of new measurement information. In the literature, studies on the stability of non-linear filters either focus on the ergodic properties on the hidden Markov process, or the observability of the measurement channel. While notions of observability exist in the literature, they are difficult to verify for many systems and specific examples of observable systems are mostly restricted to additive noise models. In this paper, we introduce a general definition of observability for stochastic non-linear dynamical systems and compare it with related findings in the literature. Our notion involves a functional characterization which is easily computed for a variety of systems as we demonstrate. Under this observability definition we establish filter stability results for a variety of criteria including weak merging and total variation merging, both in expectation and in an almost sure sense, as well as relative entropy. We also consider the implications between these notions, which collect various results in the literature in a clear and concise manner. Our conditions, and the examples we study, complement and generalize the existing results on filter stability in the literature.

研究の動機と目的

• 非線形で部分的に観測可能なマルコフ過程のフィルタ安定性理論におけるギャップを埋めるために、一般的かつ計算可能な観測可能性条件を導入すること。
• 実際の応用においてしばしば検証が困難な、既存の観測可能性の概念を統一・明確化すること。
• 期待値およびほとんど確実に、弱合併、全変動、相対エントロピー基準の下でフィルタ安定性を確立すること。
• 標準的な加法的ノイズモデルを超える具体的な例を通じて、提案された枠組みの適用可能性を示すこと。
• 異なる安定性概念の論理的関係を明確にし、文献に散在する結果を一貫した枠組みに統合すること。

提案手法

• 測定チャネルの構造と隠れた過程のダイナミクスに基づく、観測可能性の関数的特徴付けを提案する。
• 時間経過に伴うフィッシャー情報量または尤度比の振る舞いに関する条件を定義することで、実用的な計算を可能にする。
• 確率解析およびエルゴディック理論の道具を用いて、フィルタ分布の弱収束およびほとんど確実収束の下での安定性を導出する。
• 真の事後分布とフィルタリング事後分布の間の発散を相対エントロピーで測定することで、情報理論的観点から安定性を確立する。
• 提案された観測可能性条件を文献に登場する既存の定義と比較し、その一般性と計算上の利点を示す。
• 尤度比の漸近的挙動と観測可能性を結びつけることで、異なる収束モードにおける安定性の検証を体系的に行うアプローチを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的ノイズモデルを超える非線形確率的力学系において、観測可能性を一般的かつ計算可能な形で定義する方法は何か？
• RQ2 本稿で提案する観測可能性条件は、文献に既存の観測可能性概念とどのように関係しているか？
• RQ3 非線形フィルタが弱合併、全変動、相対エントロピーのどの条件下で真の事後分布に収束するか？
• RQ4 非線形フィルタリングの文脈において、異なる安定性基準（弱合併、全変動、相対エントロピー）どうしがどのように関係しているか？
• RQ5 古典的なエルゴディシティーや観測可能性の仮定が成立しないシステムに対しても、提案された枠組みを適用可能か？

主な発見

• 提案された観測可能性条件は、非ガウス分布や非加法的ノイズを含む多様な非線形システムにおいて、関数的に特徴付けられ、計算可能である。
• 期待値およびほとんど確実に、弱合併、全変動、相対エントロピー基準の下でフィルタ安定性が確立され、先行研究を拡張する。
• 異なる安定性概念の関係を統一・明確化し、より強い収束基準（例：全変動）がより弱い基準（例：弱合併）を含むことを示した。
• 特に加法的ノイズモデルを超える仮定の緩和により、既存のフィルタ安定性定理を一般化した。
• 古典的観測可能性が検証が難しい状況においても、提案された観測可能性条件が成立する明示的な例を提示し、実用的有用性を示した。
• 相対エントロピー基準が安定性の証明に強力なツールであることが示され、追加の正則性条件のもとで収束速度を導出可能である。