[論文レビュー] Stability of periodic waves of 1D cubic nonlinear Schr{\\"o}dinger equations

Stephen J. Gustafson, Stefan Le Coz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 22被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、1次元立方非線形シュレーディンガー方程式におけるクネイダル、ドネイダル、エスエヌエイダル周期的波の変分的特徴付けを提供し、エネルギー最小化を用いて同じ周期の摂動に対する軌道的安定性を証明する。積分可能性に依存せずに、クネイダル波およびエスエヌエイダル波のスペクトル安定性を確立し、長波長摂動下でのクネイダル波の線形不安定性を導出する。また、質量および運動量制約下でのエネルギー最小化を計算するための数値勾配流れ法を開発し、数値実験によって結果を確認する。

ABSTRACT

We study the stability of the cnoidal, dnoidal and snoidal elliptic functions as spatially-periodic standing wave solutions of the 1D cubic nonlinear Schr{\\"o}dinger equations. First, we give global variational characterizations of each of these periodic waves, which in particular provide alternate proofs of their orbital stability with respect to same-period perturbations, restricted to certain subspaces. Second, we prove the spectral stability of the cnoidal waves against same-period perturbations (in a certain parameter range), and provide an alternate proof of this (known) fact for the snoidal waves, which does not rely on complete integrability. Third, we give a rigorous version of a formal asymptotic calculation of Rowlands to establish the instability of a class of real-valued periodic waves in 1D, which includes the cnoidal waves of the 1D cubic focusing nonlinear Schr{\\"o}dinger equation, against perturbations with period a large multiple of their fundamental period. Finally, we develop a numerical method to compute the minimizers of the energy with fixed mass and momentum constraints. Numerical experiments support and complete our analytical results.

研究の動機と目的

• クネイダル、ドネイダル、エスエヌエイダル波のグローバルな変分的特徴付けを、質量および運動量制約下でのエネルギー最小化として確立すること。
• 完全な可積分性に依存せずに、変分的手法を用いて同じ周期の摂動に対するこれらの周期的波の軌道的安定性を証明すること。
• 特定のパrameter範囲において、クネイダル波およびエスエヌエイダル波のスペクトル安定性を分析し、可積分性に基づく証明とは異なる代替的証明を提供すること。
• ロウランドズの形式的計算を拡張し、基本周期の大きな倍数の周期を持つ摂動下でのクネイダル波の線形不安定性が、厳密に確立されていることを確認すること。
• 周期的および半反周期的制約下でのエネルギー最小化を計算するための数値勾配流れ法を開発し、実験的に検証すること。

提案手法

• 周期的および半反周期的関数空間上でのエネルギー最小化問題を定式化し、周期的波解の特徴付けを行う。
• H^1-型関数空間における制約付き最小化を用いて、cn、dn、sn波の変分的特徴付けを導出する。
• 周期的波のプロファイルの周囲での線形化作用素L_+およびL_-のスペクトル解析を適用し、スペクトル安定性を評価する。
• 質量および運動量制約を保証するための離散正規化を施した半陰的勾配流れスキームを実装し、数値的時間発展を行う。
• 有限差分法を用いてPDEを離散化し、半反周期的最小化問題では反周期性を強制するための射影ステップを適用する。
• 数値的続行法および収束モニタリングを用いて理論的予測を検証し、dn、cn、sn、および平面波などの期待される最小化子への収束を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クネイダル、ドネイダル、エスエヌエイダル波は、固定された質量および運動量制約下でのエネルギーのグローバル最小化子として特徴付けられるか？
• RQ2 クネイダル波およびエスエヌエイダル波は、同じ周期の摂動に対してスペクトル的に安定か？ また、可積分性に依存せずにその安定性を証明できるか？
• RQ3 ロウランドズの漸近的解析が示唆するように、長波長摂動下でのクネイダル波の線形不安定性は、厳密に確立されているか？
• RQ4 制約付きエネルギー最小化の数値シミュレーションは、周期的および半反周期的設定における解析的予測とどのように一致するか？
• RQ5 さまざまな質量および運動量制約下で、数値的手法が期待される最小化子（例：ゼロ運動量の非焦点的反周期的ケースにおけるsn）に収束するか？

主な発見

• クネイダル波、ドネイダル波、エスエヌエイダル波は、周期的および半反周期的関数空間上での固定された質量および運動量制約下でエネルギーのグローバル最小化子として特徴付けられる。
• 同じ周期の摂動に対するこれらの波の軌道的安定性は、変分的手法によって確立され、制限された摂動に対する既知の安定性と整合的である。
• あるパrameter範囲において、クネイダル波およびエスエヌエイダル波のスペクトル安定性が証明され、可積分性に依存しない安定性証明が提供される。
• ロウランドズの形式的計算を拡張し、基本周期の大きな倍数の周期を持つ摂動下でのクネイダル波の線形不安定性が、厳密に確認された。
• 数値実験では、期待される最小化子への収束が観察された：焦点的周期的ケースではdn、焦点的反周期的ケースではcn、非焦点的反周期的ケース（ゼロ運動量）ではsn。
• 非焦点的反周期的ケースで運動量がゼロの場合、数値的結果は、質量制約のみの下でエネルギーを最小化するsnoidal波の存在を支持する予想を裏付けている。