[論文レビュー] Stability of rarefaction waves of the Navier-Stokes-Poisson system

Renjun Duan, Shuangqian Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、空間無限遠における非ゼロのポテンシャル差を有する1次元ナビエ＝ストークス＝ポアソン系において、希薄波の時間漸近的安定性を確立する。電気的ポテンシャルのための非自明な大時間プロファイルを準中性のオイラー系に基づいて構築することで、初期データが無限遠で異なる定数状態に近い場合でも、波の強さが小さくない場合でさえも、解が時間の経過とともに希薄波に収束することを証明する。

ABSTRACT

In the paper we are concerned with the large time behavior of solutions to the one-dimensional Navier-Stokes-Poisson system in the case when the potential function of the self-consistent electric field may take distinct constant states at $x=\pm\infty$. Precisely, it is shown that if initial data are close to a constant state with asymptotic values at far fields chosen such that the Riemann problem on the corresponding quasineutral Euler system admits a rarefaction wave whose strength is not necessarily small, then the solution exists for all time and tends to the rarefaction wave as $t o+\infty$. The construction of the nontrivial large-time profile of the potential basing on the quasineutral assumption plays a key role in the stability analysis. The proof is based on the energy method by taking into account the effect of the self-consistent electric field on the viscous compressible fluid.

研究の動機と目的

• 無限遠における $x = \pm\infty$ で異なる定数をとる電気的ポテンシャルを有する1次元ナビエ＝ストークス＝ポアソン系の解の長時間挙動を調査すること。
• 波の強さが小さいとは限らない状況下でも、自己整合的な電場を伴う希薄波の時間漸近的安定性を確立すること。
• 準中性仮定に基づいて、電気的ポテンシャルのための非自明な大時間プロファイルを構築すること。これは安定性解析に不可欠である。
• 非平衡境界条件を有するナビエ＝ストークス＝ポアソン系への古典的希薄波安定性理論の拡張すること。
• 長時間領域における自己整合的電場が粘性圧縮流体力学に与える影響を厳密に取り入れること。

提案手法

• 準中性のオイラー系に基づいて、ポテンシャル $\phi(t,x)$ の近似希薄波プロファイルを構築し、関係式 $\phi^R(x/t) = \frac{T_i m_e - T_e m_i}{m_i + m_e} \ln n^R(x/t)$ を用いる。
• エネルギー法を用いて、希薄波周りの摂動に対する事前推定を得る。流体力学とポアソン方程式の結合を考慮する。
• 準中性仮定を用いて運動量方程式から電場を消去し、大時間挙動を支配する簡略化された系を導出する。
• フーリエ解析とエネルギー推定を用いて、平衡状態まわりの線形化系を解析することで、ソボレフ空間における散逸的推定を確立する。
• 密度および速度の摂動の減衰を捉えるために、流体変数とポテンシャルの結合を組み込んだ修正エネルギー関数を導入する。
• 適切な初期データ条件の下でエネルギー関数が時間とともに減衰することを証明することで、解の希薄波への収束を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電気的ポテンシャルが $x = \pm\infty$ で異なる場合、ナビエ＝ストークス＝ポアソン系における希薄波は安定であるか？
• RQ2 自己整合的電場は、非ゼロのポテンシャル差が存在する状況下で、粘性圧縮流体の長時間挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 希薄波への安定性を保証するための、電気的ポテンシャル $\phi(t,x)$ の正しい大時間プロファイルは何か？
• RQ4 希薄波の強さが小さいとは限らない場合でも、安定性結果を確立できるか？
• RQ5 準中性仮定は、2相流系におけるポテンシャルの整合的で効果的な大時間記述をどのように導くか？

主な発見

• 初期データが無限遠で定数状態に近い場合、ナビエ＝ストークス＝ポアソン系の解は時間に依存して大域的に存在し、$t \to \infty$ のとき希薄波に収束する。
• ポテンシャルの長時間プロファイルは $\phi^R(x/t) = \frac{T_i m_e - T_e m_i}{m_i + m_e} \ln n^R(x/t)$ として構築され、これは準中性のオイラー系と整合的である。
• 波の強さが小さいとは限らない場合でも安定性結果が成立し、従来の小さな波アーチチュードを仮定する必要がある結果を拡張する。
• エネルギー法により非線形摂動がうまく制御され、線形化系の散逸的構造から得られる減衰率が導出される。
• ポテンシャルプロファイル $\phi^R(x/t)$ は、電場の正しい長時間挙動を保証するため、安定性解析において不可欠である。
• ソボレフノルムにおけるエネルギー推定により、解の減衰が定量的に評価され、$\|n - n^R\|_{H^1} + \|u - u^R\|_{H^1} \to 0$ が $t \to \infty$ のとき成り立つ。