[論文レビュー] Stability of stochastic differential equations with respect to time-changed Brownian motions

Qiong Wu|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、一般化されたラプラシアン法と双対性理論を用いて、時間変更ブラウン運動によって駆動される確率微分方程式（SDEs）の安定性基準を確立する。ドリフト、拡散、時間変更に関する条件下で、確率的安定性、漸近的安定性、およびグローバル漸近的安定性を証明し、時間変更SDEの安定性と非時間変更対応物との間の双対性を介して関連付ける重要な結果を提示する。

ABSTRACT

In this paper, the stability behaviors of stochastic differential equations (SDEs) driven by time-changed Brownian motions are discussed. Based on the generalized Lyapunov method and stochastic analysis, necessary conditions are provided for solutions of time-changed SDEs to be stable in differential senses, such as stochastic stability, stochastically asymptotic stability and globally stochastically asymptotic stability. Also, a connection between the stability of the solution to the time-changed SDEs and that to their corresponding non-time-changed SDEs is revealed by applying the duality theorem. Finally, two examples are provided to illustrate the theoretical results.

研究の動機と目的

• 時間変更ブラウン運動によって駆動される確率微分方程式（SDEs）の解の安定性を分析すること。
• 非マルコフ過程の時間変更（逆サブオルダレーターによって誘発される）を伴うSDEsに対して、古典的ラプラシアン安定性理論を拡張すること。
• 双対性定理を用いて、時間変更SDEの安定性とそれに対応する非時間変更SDEとの間の関係を確立すること。
• 時間変更設定における確率的安定性、確率的漸近的安定性、およびグローバル確率的漸近的安定性の十分条件を提供すること。
• 時間変更ダイナミクスとラプラシアン関数を伴う2つの具体的な例を通じて、理論的結果を提示すること。

提案手法

• 時間変更伊藤の公式を適用し、$ B_{E_t} $ によって駆動されるSDEの無限小生成子を導出する。ここで $ E_t $ は $ \beta $-安定サブオルダレーターの逆である。
• 古典的SDEsにおけるラプラシアン関数法を時間変更SDEsに一般化する。$ \alpha \in (0,1) $ を用いて、ラプラシアン関数 $ V(t_1, t_2, x) = |x|^\alpha $ を定義する。
• 双対性定理を用いて、時間変更SDEの安定性と標準SDEの安定性との関係を確立し、既知の安定性結果の転送を可能にする。
• 時間変更SDEの無限小生成子 $ L_1V $ および $ L_2V $ を定義し、ラプラシアン関数の進化におけるドリフト項および拡散項の符号を分析する。
• 時間変更変数変換公式 $ \int_0^t \phi(E_s) dE_s = \int_0^{E_t} \phi(s) ds $ を適用して、時間変更積分条件を標準形に変換する。
• 条件 $ \rho_1, f_1, g_1 $ に関して、生成子 $ L_2V $ が原点近傍で負定値であることを示すことにより、安定性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変更SDEの自明解が、$ B_{E_t} $ によって駆動される場合、どのような条件下で確率的に安定となるか？
• RQ2 時間変更SDEの解が確率的に漸近的に安定となる条件は何か？また、グローバル漸近的安定性を保証する条件は何か？
• RQ3 時間変更SDEの安定性とそれに対応する非時間変更SDEとの安定性の関係は何か？
• RQ4 双対性定理を用いて、標準SDEから時間変更SDEへの安定性結果の転送は可能か？
• RQ5 逆 $ \beta $-安定サブオルダレーターは、標準ブラウン運動と比較してSDEの安定性挙動をどのように変化させるか？

主な発見

• 時間変更SDE $ dX(t) = -\rho_1(t,E_t)X(t)dt + f_1(t,E_t)X(t)dE_t + g_1(t,E_t)X(t)dB_{E_t} $ の自明解は、確率的に安定である。条件は $ \rho_1(t,E_t) \geq 0 $ かつ $ \frac{1}{2}(1-\alpha)g^2(t,E_t) - f_1(t,E_t) \geq 0 $ がほとんど surely 成り立つことである。
• 少なくとも1つの安定性条件が厳密に成り立つ場合、自明解はグローバルに確率的漸近的に安定である。
• 双対性定理により、時間変更SDEの安定性と非時間変更対応物の安定性との間の直接的な関係が確立され、安定性結果の転送が可能となる。
• 非時間変更SDE $ dY(t) = f(t,X(t))dt + g(t,X(t))dB_t $ に対して、条件（42）および（43）が成り立つと、確率的漸近的安定性が成立する。この結果は、時間変更ラプラシアン関数を用いて時間変更版へ拡張可能である。
• 時間変更ラプラシアン関数 $ V(E_t, x) = |x|^\alpha \exp\left(-\alpha \int_0^{E_t} (a(s) - \frac{1}{2}b^2(s) + \theta) ds \right) $ は、条件（44）のもとで生成子 $ L_2V $ が負定値となることを保証し、漸近的安定性の確認に寄与する。
• 条件 $ 0 < \alpha < \frac{\theta}{\sup_{t \geq 0} b^2(t)} $ が成り立つと、$ L_2V $ が負定値となる。これは、時間変更設定における漸近的安定性の証明において極めて重要である。