[論文レビュー] Stability of tangent bundle on the moduli space of stable bundles on a curve

Jaya Nn Iyer|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影的曲線 $C$ 上のランク $r \geq 3$ で固定された行列式をもつ安定ベクトル束のモジュライ空間 ${\mathcal{S}\mathcal{U}}_C(r,d)$ の接バンドルが、Mumford-Takemotoの意味で安定であることを証明する。証明は、モジュライ空間間のヘッケ対応を用い、グラスマンニアンバンドル上のセクションのコホロロジー的消失を分析することで、不安定化部分層の存在を除外する。この結果、ピカール数が1のファノ多様体上の接バンドルの安定性に関する予想を確認する。

ABSTRACT

In this paper, we prove that the tangent bundle of the moduli space $\cSU_C(r,d)$ of stable bundles of rank $r>2$ and of fixed determinant of degree $d$ (such that $(r,d)=1$), on a smooth projective curve $C$ is always stable, in the sense of Mumford-Takemoto. This verifies a well-known conjecture, and is related to a conjectural existence of a Kähler-Einstein metric on Fano varieties with Picard number one.

研究の動機と目的

• ランク $r \geq 3$ および $\gcd(r,d)=1$ の場合に、${\mathcal{S}\mathcal{U}}_C(r,d)$ 上の接バンドルの安定性を証明すること。
• ピカール数が1のファノ多様体上での接バンドルの安定性に関する予想を確認すること。
• ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量の存在と接バンドルの安定性の間の関係を確立すること。
• 従来のランク2のモジュライ空間における接バンドルの安定性に関する結果を、より高いランクのモジュライ空間へ拡張すること。

提案手法

• ランク $r$ と $0 < h < r$ に対して、${\mathcal{S}\mathcal{U}}_C(r,1)$ と ${\mathcal{S}\mathcal{U}}_C(r,1-h)$ 間のヘッケ対応を用い、これはグラスマンニアンバンドルとして実現される。
• 対応空間上の相対接バンドルの直和による余接層の構造と、その不安定化部分層を分析する。
• コホロロジー的技法を適用し、正のラインバンドルのベキでねじれた特定のホッジコホモロジー群が消失することを示す。特に $H^0(G, q^{\prime*}L^{\prime - b'}) = 0$（$b' > 0$）を証明する。
• ザリスキの自明化と一般の単射性の議論を用いて、$\mathcal{K}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{G}$ を含む完全系列における核層と像層の構造を分析する。
• モジュライ空間の有理的連結性により $H^0(M, \Omega^t_M) = 0$（$t > 0$）が成り立つことを利用し、非自明な全局的セクションの存在を除外する。
• 核層 $\mathcal{K}$ の行列式条件 $\det(\mathcal{K}) = \mathcal{O}$ を用い、ラインバンドルのベキの指数に関する不等式系を導出し、$a_1 = b_1 = 0$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク $r \geq 3$ かつ $\gcd(r,d)=1$ の場合に、モジュライ空間 ${\mathcal{S}\mathcal{U}}_C(r,d)$ の接バンドルは安定か？
• RQ2 ヘッケ対応を用いることで、モジュライ空間間で接バンドルの安定性が保存されたり、移行されたりするか？
• RQ3 グラスマンニアンバンドル上での特定のコホモロジー群の消失は、不安定化部分層の非存在を示唆するか？
• RQ4 核層 $\mathcal{K}$ の行列式を用いることで、不安定化の仮定のもとで矛盾を導くことができるか？
• RQ5 モジュライ空間 $\mathcal{S}\mathcal{U}_C(r,d)$ の有理的連結性は、$t > 0$ のとき $H^0(M, \Omega^t_M)$ の消失を示唆するか？

主な発見

• 曲線 $C$ の genus $g(C) \geq 3$ かつ $r \geq 3$, $\gcd(r,d)=1$ のとき、${\mathcal{S}\mathcal{U}}_C(r,d)$ 上の接バンドルは安定である。
• ヘッケ対応により接バンドルの安定性が保存され、ランクに関する帰納法により既知の事例に還元可能である。
• $b' > 0$ のとき $H^0(G, q^{\prime*}L^{\prime - b'})$ の消失は、$q^{\prime*}L'$ がファイバー上で正であるという事実により確立され、正次数の不安定化部分層の存在を除外する。
• 核層 $\mathcal{K}$ の行列式は自明である、すなわち $\det(\mathcal{K}) = \mathcal{O}$ であり、これによりラインバンドルのベキの指数に関する方程式系が得られ、$a_1 = b_1 = 0$ が導かれる。
• 有理的連結性により $M$ 上で $H^0(M, \Omega^t_M)$（$t > 0$）が消失することが保証され、$H^0(M, \Omega^t_M)$ に非自明なセクションが存在しないことが除外される。
• 余接バンドルに不安定化部分層が存在しないことが証明され、結果として接バンドルの安定性が確立される。