[論文レビュー] Stability of the Bergman kernel on a tower of coverings

Bo-Yong Chen, Siqi Fu|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、双曲的リーマン面および完全ケーラー多様体に対して、特定のポテンシャル条件の下で被覆の塔におけるベルグマン核の安定性を確立し、普遍被覆のベルグマン核への局所一様収束を証明する。コンパクトなリーマン面（種数 ≥2）に対して有効な推定値を提供し、ポリディスクの商および有限体積かつ曲率が鋭く負の多様体の商への安定性を拡張する。

ABSTRACT

We obtain several results about stability of the Bergman kernel on a tower of coverings on complex manifolds. An effective version of Rhodes' result is given for a tower of coverings on a compact Riemann surface of genus greater than or equal to 2. Stability of the Bergman kernel is established for towers of coverings on hyperbolic Riemann surfaces and on complete Kaehler manifolds satisfying certain potential conditions. As a consequence, stability of the Bergman kernel is established for any tower of coverings of Riemann surfaces when the top manifold is simply-connected.

研究の動機と目的

• 双曲的リーマン面および完全ケーラー多様体に対して、特定のポテンシャル条件の下で被覆の塔におけるベルグマン核の安定性を確立すること。
• 種数 ≥2 のコンパクトなリーマン面におけるベルグマン核に対して、収束が自己半径に依存する有効な定量的推定値を提供すること。
• 有限体積かつ曲率が鋭く負の多様体の商であるポリディスクの商およびボールの商への安定性結果を拡張すること。
• オサワの $L^2$-推定法を $ \bar{\partial}$-作用素に一般化し、幾何的・解析的条件の下で安定性を確立すること。
• 被覆の塔におけるベルグマン核の収束に関する長年の未解決問題を、カジダンおよびローズの基礎的業績に裏付けながら解消すること。

提案手法

• 被覆多様体上のベルグマン核を制御するため、$ \bar{\partial}$-作用素および複素ラプラシアンに対する $L^2$-推定を用いる。
• 正則関数 $\psi$ を用いたポテンシャル理論的条件を適用し、$\partial\bar{\partial}\psi \gtrsim \partial\psi \wedge \bar{\partial}\psi$ および $\partial\bar{\partial}\psi \gtrsim \omega$ を満たすようにする。
• 切断関数および調和関数を用いて、基底多様体 $M$ 上に完全なヘルメートィック計量 $\omega$ を構成し、曲率条件を満たすようにする。
• 普遍被覆 $\widetilde{M}$ からの計量および核推定を、$M_j = \widetilde{M}/\Gamma_j$ への引き戻しによって商多様体に移す。
• ホロモルフィック自己同型の下で $\mathbb{H}^n$ 上のベルグマン核の不変性と、放物的端での挙動を用いて安定性を検証する。
• 特に大澤およびドンニリー＝フェッファーマンの結果を含む $L^2$-コホロロジーおよび $ \bar{\partial}$-理論の定理を適用し、一様収束を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種数 $g \geq 2$ のコンパクトなリーマン面上の被覆の塔において、ベルグマン核は普遍被覆のベルグマン核に局所一様収束するか？
• RQ2 無限体積を持つ完全ケーラー多様体において、ベルグマン核の安定性が成立する幾何的・解析的条件は何か？
• RQ3 双曲的リーマン面において、自己半径を用いたベルグマン核の有効な推定値は得られるか？
• RQ4 有限体積かつ曲率が鋭く負の多様体の商であるポリディスクの商およびボールの商において、ベルグマン核の安定性は保たれるか？
• RQ5 $L^2$-推定が被覆が小さくなる極限におけるベルグマン核の安定性をどの程度示すか？

主な発見

• 種数 $g \geq 2$ のコンパクトなリーマン面上の被覆の塔に対して、ベルグマン核は次の有効推定を満たす：$\left| |4\pi K_{M_j}|_{\rm hyp} - 1 \right| \leq \frac{12 \cdot 3^{2/3}}{\pi} (g-1)^{1/3} e^{-\tau_j/3}$（$\tau_j \geq \log 3$ のとき）、ここで $\tau_j$ は $M_j$ の自己半径である。
• 任意の被覆の塔に対して、双曲的リーマン面上でベルグマン核の安定性が成立し、普遍被覆上で局所一様収束する。
• 滑らかで強い正則関数 $\psi$ が存在し、$\partial\bar{\partial}\psi \gtrsim \partial\psi \wedge \bar{\partial}\psi$ および $\partial\bar{\partial}\psi \gtrsim \omega$ を満たすというポテンシャル条件を満たす完全ケーラー多様体に対し、安定性が確立される。
• 命題 7.1 は、ヒルベルトモジュラー群によるポリディスク $\mathbb{D}^n$ の商上の被覆の塔におけるベルグマン安定性を確認する。
• 命題 7.2 は、幾何的に有限または有限体積かつ曲率が鋭く負の断面曲率を持つボールの商に対して、ベルグマン安定性を確立する。ここでは、ブーゼマン関数をテスト関数として用いる。
• 本稿は、幾何的・解析的条件の下で、普遍被覆 $\widetilde{M}$ 上のベルグマン核が $M_j$ 上のベルグマン核の引き戻しの極限に一致することを確認する。