[論文レビュー] Stability of the Calder\'on problem for less regular conductivities

Pedro Caro, Andoni García+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、次元 $n \geq 3$ において、$C^{1,\varepsilon}(\overline{\Omega})$ に属する導電率に対する Calderón 問題について、Haberman と Tataru にインspiredされた洗練された複素幾何学的オプティクス（CGO）構成を用いて、対数型安定性推定を確立する。主な結果は、2つの導電率の $C^{0,\delta}$-ノルムの差が、それらの Dirichlet-to-Neumann マップの差の逆数の対数のべき乗で抑えられることを示しており、従来の結果から $H^{n/2+\varepsilon}$ の正則性仮定を不要にした。

ABSTRACT

In these notes we prove log-type stability for the Calder\\'on problem with conductivities in $ C^{1,\\varepsilon}(\\bar{\\Omega}) $. We follow the lines of a recent work by Haberman and Tataru in which they prove uniqueness for $ C^1(\\bar{\\Omega}) $.

研究の動機と目的

• 従来の研究で扱われたよりも正則性が低い導電率に対する逆導電率問題の安定性推定を確立すること。
• Heck (2011) の安定性結果を、導電率に $H^{n/2+\varepsilon}$ 正則性仮定を課さずに拡張すること。
• Lipschitz境界条件下で、$C^{1,\varepsilon}(\overline{\Omega})$ に属する導電率に対して、$C^{0,\delta}(\overline{\Omega})$-ノルムでの安定性を達成すること。
• 境界データを介して導電率の $L^\infty$ 制御を必要としないように、補間と Morrey 嵌め込みを用いること。

提案手法

• Haberman と Tataru (2011) の複素幾何学的オプティクス（CGO）解構成を $C^{1,\varepsilon}$ 導電率に適応すること。
• CGO 構成における剰余項を制御するために、一階微分の $L^2$-連続性モジュラスを用いること。
• Lebesgue 空間における補間を用いて、境界測定値を介して導電率の $L^\infty$-ノルムを評価すること。
• Morrey の埋め込み定理を用いて、Sobolev ノルムを介して導電率差の $C^{0,\delta}$-ノルムを制御すること。
• $\overline{\Omega}$ から $\mathbb{R}^n$ への導電率の拡張を構成し、等連続性と境界依存性を保つこと。
• CGO 剰余項の境界と、微分の $L^2$-連続性モジュラスを組み合わせて、安定性推定を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $n \geq 3$ において、$C^{1,\varepsilon}(\overline{\Omega})$ に属する導電率に対する Calderón 問題について、対数型安定性を確立できるか？
• RQ2 補間と Morrey 嵌め込みを用いることで、$H^{n/2+\varepsilon}(\Omega)$ 正則性仮定を排除できるか？
• RQ3 導電率の勾配の $L^2$-連続性モジュラスが、CGO 解における剰余項を制御するために用いられるか？
• RQ4 $C^{1,\varepsilon}$ 導電率を $\mathbb{R}^n$ に拡張する際に、等連続性と微分の $L^2$-連続性モジュラスを保てるか？
• RQ5 Lipschitz境界上で勾配を回復する Brown の手法を、$C^1$ 導電率の安定性を得るために拡張できるか？

主な発見

• 本稿では、対数型安定性推定を確立した：$\|\gamma_1 - \gamma_2\|_{C^{0,\delta}(\overline{\Omega})} \lesssim \left(\log \|\Lambda_{\gamma_1} - \Lambda_{\gamma_2}\|^{-1}\right)^{-\varepsilon^2(1-\delta)/(3n^2)}$ であり、$C^{1,\varepsilon}(\overline{\Omega})$ に属する導電率に対して成り立つ。
• 安定性定数は $n$、$\Omega$、$M$、$\delta$、$\varepsilon$ のみに依存し、$C^{1,\varepsilon}$ ノルムで有界かつ正の下限を持つ導電率のクラス全体に一様に成り立つ。
• Heck (2011) の結果における $H^{n/2+\varepsilon}$ 正則性仮定は、境界データを介した $L^\infty$-ノルムの制御に補間と Morrey 嵌め込みを用いることで排除された。
• 導電率差の $C^{0,\delta}$-ノルムは、$W^{1,n/(1-\delta)}$-ノルムによって制御され、これは CGO 構成と剰余項の評価により有界である。
• 本手法により、微分の $L^2$-連続性モジュラスが安定性レートを決定づける主要因であることが示された。したがって、微分の連続性モジュラスに対するより強い正則性仮定が、指数を改善できる可能性がある。
• 著者らは、Brown の手法の拡張と、$L^2$-連続性モジュラスを保つ $\mathbb{R}^n$ への拡張の構成に関する未解決問題を特定し、さらなる改善につながる可能性を示唆している。