[論文レビュー] Stability of the determination of a coefficient for the wave equation in an infinite wave guide

Yavar Kian|arXiv (Cornell University)|May 21, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限大の波ガイド $ \Omega = \omega \times \mathbb{R} $ における波動方程式の電磁ポテンシャル $ q $ を回復する逆問題について、境界上のDirichlet-to-Neumann (DN) 写像からの Hölder 穩定性推定を確立する。全境界測定の下で安定性を証明し、ポテンシャルの最大ギャップがコンパクト領域内にあるという条件下で、有界な側面領域への結果の拡張も行う。

ABSTRACT

We consider the stability in the inverse problem consisting in the determination of an electric potential $q$, appearing in a Dirichlet initial-boundary value problem for the wave equation $\partial_t^2u-Δu+q(x)u=0$ in an unbounded wave guide $Ω=ω imes\mathbb R$ with $ω$ a bounded smooth domain of $\mathbb R^2$, from boundary observations. The observation is given by the Dirichlet to Neumann map associated to a wave equation. We prove a Hölder stability estimate in the determination of $q$ from the Dirichlet to Neumann map. Moreover, provided that the gap between two electric potentials rich its maximum in a fixed bounded subset of $\barΩ$, we extend this result to the same inverse problem with measurements on a bounded subset of the lateral boundary $(0,T) imes\partialΩ$.

研究の動機と目的

• 無限大波ガイド上における波動方程式の電磁ポテンシャル $ q $ を同定する逆問題の安定性推定を確立すること。
• 非有界側面境界 $ \Sigma $ 上での全 Dirichlet-to-Neumann (DN) 写像からの $ q $ の再構成の安定性を分析すること。
• ポテンシャルギャップのコンパクト性条件の下で、測定を側面境界の有界部分に制限した場合の安定性結果を拡張すること。
• DN 写像の差を用いた再構成誤差の定量的 Hölder 型推定を提示すること。

提案手法

• 時間、接線成分、および縦方向の微分を含む重み付き関数空間 $ L $ 上で定義される Dirichlet-to-Neumann 写像 $ \Lambda_q $ を用いる。
• Carleman 評価とエネルギー法を用いて、$ q \in \mathcal{C}_b^\alpha(\overline{\Omega}) $ を持つ波動方程式の安定性推定を導出する。
• $ q $ に Hölder 連続性条件を課し、$ \|q\|_{L^\infty} \leq M $ とし、ノルム $ \|q\|_{\mathcal{C}_b^\alpha} = \|q\|_{L^\infty} + [q]_\alpha $ を用いる。
• 有界測定を扱うために、$ (0,T) \times \partial\omega \times (-R,R) $ 上で定義される局所化された DN 写像 $ \Lambda_q^R $ を導入する。
• カットオフ法と重み付きエネルギー推定を用いて、コンパクト集合外での解の挙動を制御する。
• 補間とコンパクト性仮定を用いて、対数型推定を Hölder 連続性に変換することで安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大波ガイド上における波動方程式のポテンシャル $ q $ を回復する逆問題について、Hölder 穏定性推定を確立できるか？
• RQ2 DN 写像による全境界測定に起因する $ q $ の再構成の安定性はどのように依存するか？
• RQ3 測定が側面境界の有界部分に制限された場合、どのような条件下で安定性が保たれるか？
• RQ4 2つのポテンシャル間の最大ギャップの位置が、局所測定への安定性拡張に果たす役割は何か？
• RQ5 安定性指数をポテンシャルの Hölder 正則性および測定誤差の観点から定量的に評価できるか？

主な発見

• Hölder 穏定性推定が確立された：$ \|q_1 - q_2\|_{L^\infty(\Omega)} \leq C \|\Lambda_{q_1} - \Lambda_{q_2}\|^{\frac{\min(2\alpha,1)\alpha}{3(2\alpha+2)(\min(4\alpha,2)+21)}}} $、ただし $ C $ は $ M, T, \Omega $ に依存する。
• 安定性指数はポテンシャルの Hölder 正則性 $ \alpha $ に依存し、$ 0 < \alpha < 1 $ の範囲で正の値をとる。
• 測定が $ (0,T) \times \partial\omega \times (-R,R) $ 上で局所化されている場合、$ \|q_1 - q_2\|_{L^\infty} $ の最大値が有界領域 $ \omega \times (-r,r) $ 内に達している（$ r < R $）限り、安定性が成立する。
• ポテンシャル差が $ \overline{\Omega} $ のコンパクト部分集合で本質的上界を達成するという仮定の下で、結果は有界測定集合へ拡張可能である。
• 証明は重み付きエネルギー推定とカットオフ関数を用いて、問題の局所化と無限遠での挙動の制御に依存する。
• ポテンシャルが無限遠で減衰する仮定がなくても、有界かつ Hölder 連続である限り、安定性推定は有効である。