[論文レビュー] Stability of the Focal and Geometric Index in semi-Riemannian Geometry via the Maslov Index

Francesco Mercuri, Paolo Piccione+1 more|ArXiv.org|May 17, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティックベクトル空間のラグランジュングラスマンに於ける交差理論を用いて、半リーマン幾何における焦点点および幾何的インデックスの安定性をマスロフ指数を用いて確立する。これにより、測地線に沿った共役点の代数的数え上げ（交差理論による）が、微小な摂動に対しても安定することが示される。本論文は、ヘルファー（1997）の誤った結果を、反例を提示することで是正し、半リーマン的インデックス理論における例および反例を構成する一般的手法を導入し、非ローレンツ的設定において新たな現象を明らかにする。

ABSTRACT

We investigate the problem of the stability of the number of conjugate or focal points (counted with multiplicity) along a semi-Riemannian geodesic $γ$. For a Riemannian or a non spacelike Lorentzian geodesic, such number is equal to the intersection number (Maslov index) of a continuous curve with a subvariety of codimension one of the Lagrangian Grassmannian of a symplectic space. Such intersection number is proven to be stable in a large variety of circumstances. In the general semi-Riemannian case, under suitable hypotheses this number is equal to an algebraic count of the multiplicities of the conjugate points, and it is related to the spectral properties of a non self-adjoint differential operator. This last relation gives a weak extension of the classical Morse Index Theorem in Riemannian and Lorentzian geometry. In this paper we reprove some results that were incorrectly stated by Helfer in a previous reference; in particular, a counterexample to one of Helfer's results, which is essential for the theory, is given. In the last part of the paper we discuss a general technique for the construction of examples and counterexamples in the index theory for semi-Riemannian metrics, in which some new phenomena appear.

研究の動機と目的

• 半リーマン的測地線に沿った共役点または焦点点の数（重複度を含む）の安定性を調査すること。
• 非自己随伴微分作用素のスペクトル的性質と関連付けることにより、一般の半リーマン多様体における古典的モース指数定理の拡張を試みること。
• ヘルファー（1997）の先行研究における誤り、特に共役点の数え上げおよびインデックスの安定性に関する誤りを是正すること。
• 半リーマン的インデックス理論における例および反例を構成する一般枠組みを構築し、非自明な幾何的およびスペクトル的現象を明らかにすること。

提案手法

• シンプレクティックベクトル空間のラグランジュングラスマンにおける、連続的曲線と余次元1の部分代数的多様体との交差数としてマスロフ指数を用いる。
• ラグランジュングラスマン上の交差理論を適用し、半リーマン的設定における共役点の安定的かつ代数的な数え上げを定義する。
• 非自己随伴微分作用素のスペクトル論を基盤とし、幾何的インデックスと解析的不変量との関係を確立する。
• 摂動論的アプローチを用いて、測地線または計量の微小変化に対してもマスロフ指数の安定性を示す。
• 開発した枠組みを用いて、特に非時空的または非ローレンツ的設定において、ヘルファーの主張の反例を明示的に構成する。
• 半リーマン的インデックス理論における意味のある例および反例を生成する体系的技法を導入し、リーマン的またはローレンツ的状況には見られない非自明な振る舞いを強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量または測地線の微小摂動に対して、半リーマン的測地線に沿った共役点の数がどのような条件下で安定するか。
• RQ2 マスロフ指数を用いて、一般の半リーマン幾何における共役点の安定的かつ代数的な数え上げをどのように定義できるか。
• RQ3 非自己随伴ヤコビ作用素の状況における幾何的インデックスのスペクトル的含意は何か。
• RQ4 ヘルファー（1997）の結果が一般の半リーマン的設定でどのように失敗するか、そしてその失敗を示す反例は何か。
• RQ5 半リーマン的インデックス理論において、意味のある例および反例を生成するための一般的手法は何か。

主な発見

• マスロフ指数は、測地線が非時空的または時間的向きを持たない場合であっても、半リーマン幾何における共役点の安定的かつ代数的な数え上げを提供する。
• 本論文は、ヘルファー1997年の論文における主要な誤りを是正し、共役点数の安定性に関する彼の主張に対して反例を提示する。
• 半リーマン的状況における幾何的インデックスは、非自己随伴微分作用素のスペクトル的性質と関連づけられ、古典的モース指数定理を弱い意味で拡張する。
• 交差数（マスロフ指数）は、元のシンプレクティック構造が保たれる限り、測地線または計量の微小摂動に対して安定する。
• 著者らは、半リーマン的インデックス理論における例および反例を構成する一般的手法を導入し、非整数値または非整数値のインデックスジャンプといった新たな現象を明らかにする。
• この枠組みにより、ヤコビ作用素が非自己随伴であるため、古典的モース指数定理が一般の半リーマン計量に直接拡張されないことが判明する。