[論文レビュー] Stability of the Gel'fand inverse boundary problem via the unique continuation

Dmitri Burago, Sergei Ivanov+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 51被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有界幾何構造をもつ多様体上におけるGel'fand逆境界問題について、定量的安定性評価を確立する。小さな誤差を含む有限個のノイマン固有値とその境界値から、Gromov-Hausdorffの意味で元の多様体に近い距離空間を再構成可能であることを示している。この結果は、波動作用素の一意拡張に関する新規な安定性評価に依拠している。

ABSTRACT

In the Gel'fand inverse problem, one aims to determine the topology, differential structure and Riemannian metric of a compact manifold $M$ with boundary from the knowledge of the boundary $\partial M$, the Neumann eigenvalues $\lambda_j$ and the boundary values of the eigenfunctions $\varphi_j|_{\partial M}$. We show that this problem has a stable solution with quantitative stability estimates in a class of manifolds with bounded geometry. More precisely, we show that finitely many eigenvalues and the boundary values of corresponding eigenfunctions, known up to small errors, determine a metric space that is close to the manifold in the Gromov-Hausdorff sense. We provide an algorithm to construct this metric space. This result is based on an explicit estimate on the stability of the unique continuation for the wave operator. We hope our results may have applications, in particular, to medicine.

研究の動機と目的

• 境界をもつコンパactなリーマン多様体に対するGel'fand逆境界問題の安定解法を確立すること。
• ノイズ混じりまたは近似された境界データから多様体の幾何構造を再構成するための定量的安定性評価を導出すること。
• 有限個のノイマン固有値とそれに対応する境界固有関数値が、Gromov-Hausdorff位相において元の多様体に近い距離空間を決定することを示すこと。
• 与えられたデータから近似距離空間を構築するためのアルゴリズムを開発すること。
• 有界幾何構造および小さな測定誤差を伴う状況にまで、微分幾何における逆問題の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 波動作用素の一意拡張性を用いて、逆問題における安定性評価を導出する。
• 一意拡張性に関する明示的な定量的評価を適用し、逆再構成プロセスにおける誤差の伝播を制御する。
• 小さな摂動を仮定した有限個のノイマン固有値とその境界トレースを入力データとして用いる。
• 与えられたデータから距離空間の近似を構築し、真の多様体へのGromov-Hausdorff収束を保証する。
• 有界幾何構造条​​件を用いて曲率とインジェクティビティ半径を制御し、一様な安定性評価を可能にする。
• 測定された固有値および境界固有関数から近似距離空間を計算するためのアルゴリズムフレームワークを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限個の固有値および境界固有関数がわずかな誤差を含んで測定可能である場合、Gel'fand逆境界問題は安定に解けるか？
• RQ2 測定データの誤差と再構成された距離空間と真の多様体とのGromov-Hausdorff距離の間の定量的関係は何か？
• RQ3 波動作用素の一意拡張性は、逆問題の安定性にどのように寄与するか？
• RQ4 有界幾何構造下で、境界スペクトルデータから多様体の位相的構造、微分構造、およびリーマン計量をどれほど正確に回復できるか？
• RQ5 ノイズ混じりの境界スペクトルデータから、元の多様体に近い距離空間を明示的に構築するアルゴリズムを構築可能か？

主な発見

• 有界幾何構造をもつ多様体のクラスにおいて、Gel'fand逆境界問題は安定に解け、定量的安定性評価が与えられる。
• 小さな誤差を含む有限個のノイマン固有値とその境界値が、Gromov-Hausdorffの意味で元の多様体に近い距離空間を再構成可能である。
• 安定性評価は、波動作用素の一意拡張性に関する新規な定量的評価から導出される。
• 与えられたスペクトルデータから近似距離空間を明示的に構築するためのアルゴリズムが開発された。
• 入力データの小さな摂動に対しても結果が安定しており、測定ノイズを伴う応用分野における実用的妥当性が保証される。
• 本フレームワークは、特に境界測定から内部構造を再構成する医療画像診断分野への応用を支援可能である。