[論文レビュー] Stability of the Spectral Gap for Lattice Fermions

Tohru Koma|arXiv (Cornell University)|May 10, 2020

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般の格子フェルミオン系に対して弱い短距離相互作用が働く場合、フェルミ海基底状態の上位のスペクトルギャップの安定性について、完全な証明を提供する。著者らはハスティングスの手法を発展させ、マヨラナフェルミオン変換を用いることで、元のハミルトニアンをフラストレーションフリーな形に写像し、熱力学的極限においてもギャップが閉じないことを保証する相対的バインディングを得た。この際、並進不変性の仮定は不要である。

ABSTRACT

It is widely believed that the spectral gap above the Fermi sea ground state of lattice free fermions is stable against generic weak interactions. Quite recently, Hastings presented a new interesting idea to prove the stability for Majorana free fermions. He ingeniously used Majorana fermions so that the unperturbed Hamiltonian of the free fermion part is mapped into a frustration-free form. In this paper, we refine Hastings's argument, and give a complete proof of the stability of the spectral gap above the Fermi sea ground state against generic weak interactions for generic lattice free fermions.

研究の動機と目的

• 一般の格子フェルミオン系に対して弱い相互作用が働く場合、フェルミ海基底状態の上位のスペクトルギャップの安定性を確立すること。
• 並進不変性を仮定しないで、ハスティングスの最近の議論を拡張・完成する、厳密な証明を提供すること。
• 短距離相互作用、偶数パリティの相互作用においても、熱力学的極限においてスペクトルギャップが開いたまま保たれることを示すこと。
• 未摂動ハミルトニアンのフラストレーションフリー表現を達成するために、マヨラナフェルミオン写像を用いた枠組みを構築すること。
• 弱い相互作用下でもギャップが閉じないことを保証する、摂動に対する相対的バインディングを導出すること。

提案手法

• 元のフェルミオン系をマヨラナフェルミオン表現に変換することで、未摂動ハミルトニアンをフラストレーションフリーな形に写像する。
• 全ハミルトニアンに対してユニタリ変換を施し、すべての局所的相互作用が未摂動基底状態を消滅させることを保証する。
• リーブ＝ロビンソンの境界と空間的減衰推定を用いて、系内での摂動の伝播を制御する。
• 相互作用行列要素の指数的減衰とスペクトルギャップ推定を用いて、摂動に対する相対的バインディングを確立する。
• 付録A–Iの技術的推定を用いて、相関関数の減衰と摂動級数の収束を制御する。
• 相互作用範囲が有界でない場合に高次相互作用を抑制するために、$ K_h > 1 $ のカットオフパラメータを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の弱い相互作用下でも、格子フェルミオン系におけるフェルミ海の上位スペクトルギャップは開いているままであろうか？
• RQ2 並進不変性を仮定しないで、スペクトルギャップの安定性を厳密に証明できるか？
• RQ3 ハスティングスのマヨラナフェルミオンアプローチは、スペクトルギャップを持つすべての格子フェルミオン系に十分で一般化可能であろうか？
• RQ4 短距離、偶数パリティの相互作用は、フェルミ海基底状態の安定性にどのように影響するか？
• RQ5 熱力学的極限において、摂動がギャップを閉じないための条件は何か？

主な発見

• 一般の格子フェルミオン系において、弱い短距離相互作用が働く場合でも、並進不変性がなくてもフェルミ海の上位スペクトルギャップは開いたまま保たれる。
• ギャップが閉じないことを保証する摂動に対する相対的バインディングが確立され、そのバインディングは相互作用行列要素の指数的減衰に依存する。
• マヨラナフェルミオンへの変換により、未摂動ハミルトニアンをフラストレーションフリーな形に表現でき、基底状態の解析が簡略化される。
• 相互作用項が距離とともに指数的に減衰することが示され、$ \sum_{X\ni x,y} \|V_X\| \leq C_V e^{-m_V \text{dist}(x,y)} $ を満たす。
• $ K_h > 1 $ のカットオフを用いることで、多体相互作用が存在する場合でも摂動展開の収束が保証される。
• 摂動されたダイナミクスと未摂動のものとのずれに対する最終的なバインディングは距離とともに指数的より緩やかに減衰し、ギャップの安定性が確認される。