[論文レビュー] Stability-Preserving, Adaptive Model Order Reduction of DAEs by Krylov-Subspace Methods

Alessandro Castagnotto, Heiko K. F. Panzer+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2015

Model Reduction and Neural Networks参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、安定性および構造的性質を保持する、インデックス1の微分代数方程式（DAE）に対する2つのKrylov部分空間に基づくモデル低次元化（MOR）手法を提示する。これらの手法は、明示的なODEへの変換を要せず、適応的かつ安定性を保証するMORを可能にする。一方の手法は厳密な散逸性を保証し、他方の手法は適応的パラメータ選択によるH₂疑似最適低次元化を可能にする。

ABSTRACT

Systems of differential-algebraic equations (DAEs) represent a widespread formalism in the modeling of constrained mechanical systems and electrical networks. Due to the automatic, object-oriented generation of the equations of motion and the resulting redundancies in the descriptor variables, DAE systems often reach a very high order. This motivates the use of model order reduction (MOR) techniques that capture the relevant input-output dynamics in a reduced model of much smaller order, while satisfying the constraints and preserving fundamental properties. Due to their particular structure, new MOR techniques designed to work directly on the DAE are required that reduce the dynamical part while preserving the algebraic. In this contribution, we exploit the specific structure of index-1 systems in semi-explicit form and present two different methods for stability-preserving MOR of DAEs. The first technique preserves strictly dissipativity of the underlying dynamics, the second takes advantage of H2-pseudo-optimal reduction and further allows for an adaptive selection of reduction parameters such as reduced order and Krylov shifts.

研究の動機と目的

• 微分代数方程式（DAE）に対して安定性を保証するモデル低次元化（MOR）手法の不足に取り組むこと、特に高次元系において。
• 元のDAEの代数的制約および内在する安定性特性を、下位のODEを明示的に解く必要なく、保持するMOR手法を開発すること。
• 精度と効率を向上させるために、低次元化の次数およびKrylovシフトの適応的選択を可能にすること。
• 元のDAEの構造的性質を維持しつつ、還元モデルにおける厳密な散逸性およびH₂最適性を保証すること。
• 機械的・電気的システムに由来する大規模DAEのMORのためのフレームワークを提供すること、数値的安定性および制約の満足度を損なわないように。

提案手法

• 半陽的インデックス1形式のDAE系から直接、Krylov部分空間法を用いたPetrov-Galerkin射影により低次元モデル（ROM）を構築する。
• 射影行列が元の descriptor 構造および代数的制約を保持する条件の下で、直交射影（V = W）を適用する。
• 最初の手法では、A + A^T の負定性を保つことで、還元系の厳密な散逸性を保証する。
• 第二の手法はH₂疑似最適モーメントマッチングに基づき、残差最小化を用いて低次元化の次数およびKrylovシフトの適応的選択を可能にする。
• シュール補行列技術を用いて、還元系の安定性特性を分析・保持し、還元動的部分系においてA₁ + A₁^T ≺ 0 が成り立つようにする。
• Krylov部分空間 (sE - A)^{-1}B に張られる射影行列VおよびWを構築し、選択されたシフトパラメータにおけるモーメントマッチングを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DAEに対するKrylov部分空間に基づくMORは、ODEへの変換を経ずに元の系の安定性を保持できるか？
• RQ2 下位のODEを明示的に知らずに、DAEの還元モデルにおける厳密な散逸性をどのように保証できるか？
• RQ3 H₂疑似最適低次元化をDAEに適応させ、低次元化の次数およびKrylovシフトの適応的選択を可能にできるか？
• RQ4 Petrov-Galerkin射影が還元モデルにおける代数的制約およびインデックス1構造を保証するための条件は何か？
• RQ5 標準的なKrylovベースのMOR（安定性保証なし）をODEまたはDAEに適用した場合と比較して、提案手法の精度および安定性はどのように異なるか？

主な発見

• 最初の手法では、元のDAEが厳密に散逸的（A + A^T ≺ 0）であれば、還元系に対してもA_r + A_r^T ≺ 0 が成り立つため、安定性が保証される。
• 第二の手法では、選択されたシフトパラメータにおけるモーメントマッチングによりH₂疑似最適性を達成し、低次元化の次数およびKrylovシフトの適応的チューニングが可能になる。
• 数値実験により、両手法が代数的制約を保持し、標準的なモーメントマッチング手法が失敗する場合でさえも安定性を維持することが示された。
• シュール補行列解析により、還元動的部分系の安定性が、シュール補行列A₁の正則性および定性に依存することが確認された。
• 下位のODEを計算する必要がなくなるため、構造的および安定性特性を保持しつつ、DAEの直接的MORが可能になった。
• 伝送線路SE-DAEの事例研究により、システムサイズや低次元化レベルが変化しても、両手法が精度と安定性を維持することが確認された。