[論文レビュー] Stability theory for difference approximations of some dispersive shallow water equations and application to thin film flows

Pascal Noble, Jean‐Paul Vila|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、毛細管流体および薄膜流をモデル化する分散的拡張版である等エントロピーEuler-Korteweg方程式に対する安定でエントロピー保存的かつエントロピー安定な有限差分スキームを開発・分析する。系をハミルトニアンPDEとして再定式化し、密度勾配のための拡張変数を導入することで、ハミルトニアン構造を保存する半離散スキームを導出し、CFL条件の下でエントロピー安定性を達成する。数値実験ではロールウェーブ実験に対して物理的観察と良好に一致する結果が得られた。

ABSTRACT

In this paper, we study the stability of various difference approximations of the Euler-Korteweg equations. This system of evolution PDEs is a classical isentropic Euler system perturbed by a dispersive (third order) term. The Euler equations are discretized with a classical scheme (e.g. Roe, Rusanov or Lax-Friedrichs scheme) whereas the dispersive term is discretized with centered finite differences. We first prove that a certain amount of numerical viscosity is needed for a difference scheme to be stable in the Von Neumann sense. Then we consider the entropy stability of difference approximations. For that purpose, we introduce an additional unknown, the gradient of a function of the density. The Euler-Korteweg system is transformed into a hyperbolic system perturbed by a second order skew symmetric term. We prove entropy stability of Lax-Friedrichs type schemes under a suitable Courant-Friedrichs-Levy condition. We validate our approach numerically on a simple case and then carry out numerical simulations of a shallow water system with surface tension which models thin films down an incline. In addition, we propose a spatial discretization of the Euler-Korteweg system seen as a Hamiltonian system of evolution PDEs. This spatial discretization preserves the Hamiltonian structure and thus is naturally entropy conservative. This scheme makes possible the numerical simulation of the dispersive shock waves of the Euler Korteweg system.

研究の動機と目的

• 等エントロピーEuler方程式の分散的摂動であるEuler-Korteweg系に対する安定でエントロピー安定な有限差分近似を構築すること。
• Euler-Korteweg系の差分スキームにおけるvon Neumann安定性を達成するための数値拡散の必要性を分析すること。
• 密度勾配のための拡張変数を用いたハミルトニアンPDEとしての系の再定式化により、半離散エントロピー保存スキームを構築すること。
• 薄層流の浅水域モデルに対して提案スキームを数値的に検証し、特にLiuとGollubの実験で観察されたロールウェーブ形成を再現すること。
• 境界条件の課題および2次元への拡張、および他の混合双曲型-分散的系への応用における未解決課題を特定すること。

提案手法

• Euler-Korteweg系の対流項には古典的スキーム（Roe、Rusanov、Lax-Friedrichs）を適用し、3階の分散的項には中心差分を用いる。
• 密度関数の勾配を表す補助変数を導入することで、系を第二階の反対称的摂動を持つ双曲型系に変換する。
• 拡張形式におけるLax-Friedrichs型スキームが適切なCourant-Friedrichs-Levy（CFL）条件の下でエントロピー安定性を示すことを証明する。
• Euler-Korteweg系のハミルトニアン構造を保存する半離散空間差分スキームを構築し、エントロピー保存性を保証する。
• 後退Euler時間積分を用いることでエントロピー安定性を維持するが、ハミルトニアン構造は保存しない。
• 出口で自由境界条件、入口で正弦波型駆動を用いた数値シミュレーションを実装し、LiuとGollubの実験におけるロールウェーブダイナミクスを再現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Euler-Korteweg系の差分スキームがvon Neumann安定性を満たすために必要な数値拡散の量はどの程度か？
• RQ2 拡張変数を用いた双曲型再定式化により、Euler-Korteweg系に対してエントロピー安定スキームを構築可能か？
• RQ3 ハミルトニアン保存型半離散スキームは、分散的浅水域流に対する標準的差分法と比較して安定性および精度において優れているか？
• RQ4 提案スキームはLiuとGollubの実験で観察されたように、薄膜流におけるロールウェーブ形成を正確に再現可能か？
• RQ5 有限区間におけるEuler-Korteweg系に対して適切な境界条件を定義する課題は何か？

主な発見

• 中心差分による分散的項の離散化でさえ、Euler-Korteweg系の差分近似がvon Neumann安定性を達成するためには一定の数値拡散が必要であることが判明した。
• Euler-Korteweg系の拡張形式にLax-Friedrichs型スキームを適用した場合、適切なCFL条件の下でエントロピー安定性が達成される。
• RoeおよびGodunovスキームは、明示的前進Euler時間積分を用いる場合に不安定であることが判明し、スキーム選択の重要性が浮き彫りになった。
• ハミルトニアン保存型半離散スキームは優れた安定性特性を示し、分散的衝撃波のような純粋な分散的現象のシミュレーションに特に適している。
• Reynolds数Re = 29、傾斜角θ = 6.4°のLiuとGollubの実験の数値シミュレーションは、物理的観察と良好に一致し、安定なロールウェーブプロファイルの形成が再現された。
• 境界条件の選定は未解決の問題であり、Euler-Korteweg系の有限領域における適切な境界条件理論が不足しているため、研究者は任意の条件を用いた。