[論文レビュー] Stabilizability and Norm-Optimal Control Design subject to Sparsity Constraints

Şerban Sabău, Nuno C. Martins|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2012

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 22被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、安定性制約を伴う正確なモデルマッチング問題に問題を再定式化することにより、スパarsity制約付きの線形時不変（LTI）制御系の存在に対する必要十分条件を確立する。初期安定な安定化制御系を必要としない凸なユーラ型パrametrizationを導入し、凸最適化を用いたノルム最適制御設計を可能にする。これは先行研究における主要なギャップを解消する。

ABSTRACT

Consider that a linear time-invariant (LTI) plant is given and that we wish to design a stabilizing controller for it. Admissible controllers are LTI and must comply with a pre-selected sparsity pattern. The sparsity pattern is assumed to be quadratically invariant (QI) with respect to the plant, which, from prior results, guarantees that there is a convex parametrization of all admissible stabilizing controllers provided that an initial admissible stable stabilizing controller is provided. This paper addresses the previously unsolved problem of determining necessary and sufficient conditions for the existence of an admissible stabilizing controller. The main idea is to cast the existence of such a controller as the feasibility of an exact model-matching problem with stability restrictions, which can be tackled using existing methods. Furthermore, we show that, when it exists, the solution of the model-matching problem can be used to compute an admissible stabilizing controller. This method also leads to a convex parametrization that may be viewed as an extension of Youla's classical approach so as to incorporate sparsity constraints. Applications of this parametrization on the design of norm-optimal controllers via convex methods are also explored. An illustrative example is provided, and a special case is discussed for which the exact model matching problem has a unique and easily computable solution.

研究の動機と目的

• 与えられた二次的非巡回スパarsity制約下で安定化LTI制御系が存在するかどうかを特定する未解決問題に取り組む。
• そのような制御系が存在する場合に、事前に安定な制御系を知る必要がない形で、それを計算する手法を開発する。
• 古典的ユーラパラメータ化を、凸フレームワークを用いてスパarsity制約を組み込む形に拡張する。
• 凸最適化技術を用いてスパarsity制約下でのノルム最適制御設計を可能にする。
• 非強安定化可能プラントに対しても有効な、新しい凸パラメータ化により、すべての許容可能な安定化制御系を完全に特徴付ける。

提案手法

• スパarsity制約付きの安定化制御系の存在を、安定性制約を伴う正確なモデルマッチング問題の可解性として定式化する。
• プラントの二重コプライプファクタリゼーション（DCFs）を用い、要因にスパarsityおよび安定性要件を追加制約として組み込む。
• 伝達関数体上の斉次線形方程式系に問題を変換し、ユーラ型フレームワークにおけるQパラメータをパrametrizationする。
• 状態空間実現によりDCFs要因の実現を構築し、スペクトル割り当てにより変換行列のユニモジュラリティと安定性を保証する。
• 既存の正確なモデルマッチングと安定性を伴うアルゴリズムを活用し、制御系の計算およびスパarsityと安定化特性の検証を行う。
• Qパラメータに線形制約を課すことにより、すべてのスパarsity制約付き安定化制御系の凸パラメータ化を導出する。これは、安定な初期制御系が存在しない場合でも有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた二次的非巡回スパarsity制約下で、安定化LTI制御系が存在するための必要十分条件は何か？
• RQ2 初期安定な安定化制御系を必要とせずに、スパarsity制約付きの安定化制御系を計算できるか？
• RQ3 初期制御系が不明または不安定な場合に、そのようなすべての安定化制御系の凸パラメータ化をどのように構築できるか？
• RQ4 提案されたフレームワークを用いて、凸最適化を用いてスパarsity制約下でのノルム最適制御系を設計できるか？
• RQ5 制約付き要因を伴う二重コプライプファクタリゼーションの存在と、スパarsity制約下でのプラントの安定化可能性との関係は何か？

主な発見

• スパarsity制約付きの安定化制御系の存在は、安定性制約を伴う正確なモデルマッチング問題の可解性と同値である。
• DCFs要因の状態空間実現を用いて制御系を計算可能であり、変換行列のユニモジュラリティが要因分解の有効性を保証する。
• 提案されたユーラ型パラメータ化は凸的であり、初期安定な安定化制御系を必要としないため、非強安定化可能プラントに対しても適用可能である。
• 制約付きQパラメータ空間上で凸計画問題に定式化することにより、スパarsity制約下でのノルム最適制御設計が可能になる。
• 特殊な場合において、正確なモデルマッチング問題は一意かつ容易に計算可能な解を有し、制御系合成を簡素化する。
• 数値例を通じて、安定かつスパースな制御系の構築とその凸パラメータ化の導出が有効であることが検証された。