[論文レビュー] Stabilization and controllability of first-order integro-differential hyperbolic equations

Jean‐Michel Coron, Long Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 24被引用数 52

ひとこと要約

本稿では、第一階線形積分微分超仮性偏微分方程式の有限時刻安定化が、正確な可制御性と同値であることを示している。Fredholm変換を用いて、元の系を有限時刻安定な目標系に写像することで達成される。変換の可逆性は、正確な可制御性の仮定のもとで証明され、非局所項がボルテラ型でない場合でさえ、バックステッピングに類似した手法による安定化が可能になる。

ABSTRACT

In the present article we study the stabilization of first-order linear integro-differential hyperbolic equations. For such equations we prove that the stabilization in finite time is equivalent to the exact controllability property. The proof relies on a Fredholm transformation that maps the original system into a finite-time stable target system. The controllability assumption is used to prove the invertibility of such a transformation. Finally, using the method of moments, we show in a particular case that the controllability is reduced to the criterion of Fattorini.

研究の動機と目的

• 第一階線形積分微分超仮性偏微分方程式における有限時刻安定化と正確な可制御性の同値性を確立すること。
• 古典的バックステッピング法の制限を克服すること。この方法はボルテラ型カーネルに依存しており、カーネルが三角形 $0 \leq y \leq x \leq L$ の上に支持されていない場合には失敗する。
• 非局所項がボルテラ型でない場合でも安定化が可能な、Fredholm変換に基づくアプローチを開発すること。
• 正確な可制御性の仮定のもとで、Fredholm変換の可逆性を証明すること。
• 特定の状況において、可制御性の基準がファットォリーニの条件に簡略化されることを示し、抽象的な可制御性と具体的な固有値条件を結びつけること。

提案手法

• 元の系をゼロダイナミクスを持つ目標系に写像する形で、$ u(t,x) = w(t,x) - \int_0^L k(x,y)w(t,y)\,dy $ の形のFredholm変換を用いる。
• カーネル $k(x,y)$ に対する方程式を正方形 $ (0,L) \times (0,L) $ 上で導出する。これは古典的バックステッピングで用いられるボルテラ型カーネル方程式とは異なる。
• 正確な可制御性（時刻 $L$ における）の仮定に基づき、変換の可逆性を証明する。可制御性条件を活用して、変換が全単射であることを保証する。
• モーメント法を適用し、正確な可制御性が特定の状況でファットォリーニの基準に還元されることを示す。これにより、可制御性のための固有値条件が得られる。
• 弱解の定式化と密度に関する議論を用いて、解理論を滑らかでない $L^2$ 初期データおよび制御へと拡張する。
• Lumer-Philips定理を用いて、作用素 $A$ が $C_0$-群を生成することを示し、系の適切な定義（well-posedness）を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一階線形積分微分超仮性偏微分方程式の有限時刻安定化は、正確な可制御性と同値であるか？
• RQ2 非局所項がボルテラ型でない場合でも、Fredholm変換を用いてそのような系を安定化できるか？
• RQ3 バックステッピング法で用いられるFredholm変換が、どのような条件下で可逆になるか？
• RQ4 系の可制御性は、安定化カーネル変換の存在を示唆するか？
• RQ5 可分なカーネル $g(x,y) = g(y)$ の場合に、ファットォリーニの基準を適用して可制御性を判定できるか？

主な発見

• 系 (1.1) の有限時刻安定化は、時刻 $L$ における正確な可制御性と同値である。
• 有限時刻安定な目標系に写像するためのFredholm変換は、かつてその系が時刻 $L$ で正確に可制御である場合に限り可逆である。
• モーメント法により、$g(x,y) = g(y)$ の場合に正確な可制御性がファットォリーニの基準に還元されることを示し、可制御性のための固有値条件が得られる。
• 解作用素は $L^2(0,L) \times L^2(0,T)$ 上で適切に定義され、連続的である。また、トレース $u(\cdot,0)$ は、稠密部分空間から連続的に拡張可能である。
• 可制御性の仮定のもとで、元の系から目標系への変換は連続的かつ可逆的であり、目標系の有限時刻減衰性により安定化が保証される。
• KdV方程式や Kuramoto-Sivashinsky 方程式に関する先行研究とは根本的に異なる証明技法を用いる。本稿では、可逆性を保証するために小刻みさや固有値条件ではなく、可制御性に依存している。