[論文レビュー] Stabilization approaches for the hyperelastic immersed boundary method for problems of large-deformation incompressible elasticity

Ben Vadala-Roth, Shashank Acharya+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2018

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、大変形不可撓性弾性における体積保存性を向上させるために、超弾性埋め込み界面法におけるボリュメトリック安定化手法を提案する。歪みエネルギーを等体積的および体積変化的成分に分解し、不可撓性を満たす離散ラグランジュ乗数を補強することで、計算コストを最小限に抑えつつ、安定化有限要素法と同等の精度を達成し、準静的および動的流体-構造連成ベンチマークにおける体積誤差を顕著に低減する。

ABSTRACT

The immersed boundary method is a mathematical framework for modeling fluid-structure interaction. This formulation describes the momentum, viscosity, and incompressibility of the fluid-structure system in Eulerian form, and it uses Lagrangian coordinates to describe the structural deformations, stresses, and resultant forces. Integral transforms with Dirac delta function kernels connect the Eulerian and Lagrangian frames. The fluid and the structure are both typically treated as incompressible materials. Upon discretization, however, the incompressibility of the structure is only maintained approximately. To obtain an immersed method for incompressible hyperelastic structures that is robust under large structural deformations, we introduce a volumetric energy in the solid region that stabilizes the formulation and improves the accuracy of the numerical scheme. This formulation augments the discrete Lagrange multiplier for the incompressibility constraint, thereby improving the original method's accuracy. This volumetric energy is incorporated by decomposing the strain energy into isochoric and dilatational components, as in standard solid mechanics formulations of nearly incompressible elasticity. We study the performance of the stabilized method using several quasi-static solid mechanics benchmarks, a dynamic fluid-structure interaction benchmark, and a detailed three-dimensional model of esophageal transport. The accuracy achieved by the stabilized immersed formulation is comparable to that of a stabilized finite element method for incompressible elasticity using similar numbers of structural degrees of freedom.

研究の動機と目的

• 大変形不可撓性弾性をシミュレートする際の埋め込み界面法における体積保存誤差を是正すること。
• 離散化に起因する誤差に対しても、固体領域における不可撓性を維持できる安定化技術を開発すること。
• 安定性を損なわず、計算コストを増加させることなく、数値的精度と収束性を向上させること。
• 本手法の性能を、準静的および動的流体-構造連成ベンチマーク（3次元食道輸送モデルを含む）で評価すること。
• ボリュメトリックペナルティと修正された不変量を用いた、超弾性IB法のための堅牢なデフォルト定式化を確立すること。

提案手法

• 固体領域にボリュメトリックエネルギー項を導入し、不可撓性制約の安定化を図る。歪みエネルギーを等体積的成分と体積変化的成分に分解する。
• ボリュメトリックエネルギーを用いて、不可撓性を満たす離散ラグランジュ乗数を補強し、Euler的枠組みにおける制約の強化を改善する。
• 大変形下での材料挙動をよりよく捉えるために、弾性エネルギー関数に修正された不変量（例：$\bar{I}_4$, $\bar{I}_5$）を用いる。
• 安定化処理を固体領域に限定することで、元のIBフレームワークの構造と結合演算子を保持する。
• 歪み成分分解による定式化を採用し、ほぼ不可撓性弾性理論と整合性を保つ。
• Euler的およびLagrangian領域間の結合に正則化されたデルタ関数を用い、滑らかな速度伝達を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボリュメトリック安定化は、大変形下における超弾性IBシミュレーションの体積保存性をどのように向上させるか？
• RQ2 修正された不変量を用いる場合と未修正の不変量を用いる場合の、数値的精度および変形品質への影響は何か？
• RQ3 安定化手法は、同等の自由度を有する安定化有限要素法と同等の精度を達成できるか？
• RQ4 本手法は、エラスティックバンドベンチマークや食道輸送のような動的流体-構造連成問題において、どのように性能を発揮するか？
• RQ5 安定化技術は数値的不安定性を引き起こすか、顕著な計算コストを増加させるか？

主な発見

• 修正されていない不変量を用いた非安定化ケースと比較して、ねじり試験では体積誤差が最大59％まで低減された。
• すべてのベンチマークにおいて、体積保存性が顕著に向上した。特に、異方性コック膜および3次元食道輸送モデルでも同様の結果が得られた。
• 同じ構造的自由度数を用いても、安定化有限要素法と同等の精度を達成した。
• 点ごとの体積保存性が維持され、わずかな低下にとどまり、食道輸送シミュレーションでは要素の反転が防止された。
• 安定性に悪影響を及げず、計算コストも無視できるほど低く、大規模シミュレーションにおいて実用的であることが示された。
• ボリュメトリックペナルティと組み合わせた修正不変量の使用は、未修正不変量にゼロペナルティを適用する手法よりも優れた結果をもたらした。