[論文レビュー] Stabilization Control for Linear Continuous-time Mean-field Systems

Qingyuan Qi, Huanshui Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2016

Advanced Control Systems Optimization参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、連続時間の平均場系に対する平均二乗安定化の必要十分条件を、結合された代数的リカチ方程式（ARE）を用いて確立する。最大原理を活用し、前向き・後ろ向き確率的微分方程式（FBSDE）を解くことにより、最適制御の可解性条件を導出し、安定化が発生するのは、結合されたAREが一意な正定値（または正確な可観測性のもとで正定値）解をもつときであることを示す。これは、重み行列に対する仮定を弱める条件下で、古典的なLQ制御理論を平均場設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

This paper investigates the stabilization and control problems for linear continuous-time mean-field systems (MFS). Under standard assumptions, necessary and sufficient conditions to stabilize the mean-field systems in the mean square sense are explored for the first time. It is shown that, under the assumption of exact detectability (exact observability), the mean-field system is stabilizable if and only if a coupled algebraic Riccati equation (ARE) admits a unique positive semi-definite solution (positive definite solution), which coincides with the classical stabilization results for standard deterministic systems and stochastic systems. One of the key techniques in the paper is the obtained solution to the forward and backward stochastic differential equation (FBSDE) associated with the maximum principle for an optimal control problem. Actually, with the analytical FBSDE solution, a necessary and sufficient solvability condition of the optimal control, under mild conditions, is derived. Accordingly, the stabilization condition is presented by defining an Lyaponuv functional via the solution to the FBSDE and the optimal cost function. It is worth of pointing out that the presented results are different from the previous works for stabilization and also different from the works on optimal control.

研究の動機と目的

• 平均場系における体系的安定化理論の欠如に取り組み、最適制御に比べてあまり研究が進んでいない分野を補完する。
• 標準的仮定の下で、線形連続時間平均場系の平均二乗安定化の必要十分条件を確立する。
• システムのダイナミクスが状態とその期待値に依存する平均場文脈において、古典的なリカチに基づく安定化結果を拡張する。
• FBSDEの解とリャプノフ関数を用いて、最適制御の可解性と安定化を統一的に結びつけるフレームワークを提供する。
• コスト関数における重み行列の正定値性要件を緩和し、正定値ではなく半正定値にすることを許容する。

提案手法

• 最適制御則を導出するため、最大原理を適用し、関連する前向き・後ろ向き確率的微分方程式（FBSDE）の解から得られる結合リカチ方程式を導出する。
• 有限区間におけるリカチ方程式の収束解析を用いて、無限区間における結合代数的リカチ方程式（ARE）を安定化のために導出する。
• 最適コスト関数とFBSDEの解に基づくリャプノフ汎関数を定義し、平均二乗安定性を分析する。
• 安定化と結合AREの解としての一意な正定値（または正確な可観測性のもとで正定値）解の存在との同値性を確立する。
• システムの安定性とAREの可解性を結びつけるために、正確な検出可能性と正確な可観測性の概念を用いる。
• 無限時間にわたる制御エネルギーの可積分性を示すことにより、最適コントローラーが許容可能な制御空間に属することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形連続時間平均場系は、どのような条件下で平均二乗安定化可能か？
• RQ2 無限区間における平均場系の最適制御問題は、結合代数的リカチ方程式を用いて解けるか？
• RQ3 結合AREの可解性は、平均場系の安定化とどのように関係するか？
• RQ4 正確な検出可能性と正確な可観測性は、AREの解を用いた安定化を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 コスト関数における重み行列を正定値から正半定値に緩和しても、安定化と最適性は維持可能か？

主な発見

• 正確な検出可能性の仮定のもとで、平均場系は結合代数的リカチ方程式が一意な正半定値解をもつとき、かつそのときに限り、平均二乗安定化可能である。
• 正確な可観測性のもとでは、系は結合AREが一意な正定値解をもつとき、かつそのときに限り、安定化可能である。
• AREの解から導出された提案コントローラーは、状態と制御入力が無限時間にわたって二乗可積分であることを保証する。すなわち、制御は許容可能な空間 U[0, ∞) に属する。
• 最適コスト関数とFBSDEの解に基づくリャプノフ汎関数を構築することで、閉ループ系の平均二乗安定性が検証された。
• 結果は、古典的LQ制御理論を平均場系へと一般化し、安定化および可解性条件を含む。
• 本稿は、標準的仮定である重み行列 R と R + R̄ が正定値でなければならないという要件を緩和し、正半定値にすることを許容することで、理論の適用範囲を広げた。