[論文レビュー] Stabilization of coupled second order systems with delay

El Mustapha Ait Ben Hassi, Kaïs Ammari+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、出力フィードバックを用いて遅れ付きの結合2階系に対して指数的安定性を確立し、問題を保存的随伴系の観測可能性不等式に還元する。主な結果は、指数的エネルギー減衰が発生するのは、制御位置が既約分数で表した際の分子が奇数である有理数である場合に限ることを示しており、波動方程式の例において非調和フーリエ級数のインガムの不等式を用いて証明される。

ABSTRACT

In this paper we characterize the output feedback stabilization of some coupled systems with delay. The proof of the main result uses the method introduced in Ammari and Tucsnak \cite{at} where the exponential stability for the closed loop system is reduced to an observability estimate for the corresponding conservative adjoint system, under a boundedness condition of the transfer function of the associated open loop system.

研究の動機と目的

• 遅れ付きの結合2階無限次元系に対する出力フィードバック安定化を特徴付ける。
• 有界でない制御および結合作用素を含む系に、既存の指数的安定性の結果を拡張する。
• 遅れが結合波動系におけるエネルギー減衰に与える影響を分析する。
• 例えば結合弦や波動方程式のような特定の物理的モデルにおいて、指数的安定性の必要十分条件を特定する。
• 抽象的安定性基準を点制御および境界条件を伴う具体的な偏微分方程式系に適用する。

提案手法

• 作用素 A および B₀ を用いて、結合系を積空間上の1つの2階方程式に変換する。
• アマリ＝トゥクスナック法を適用し、指数的安定性を保存的随伴系の観測可能性推定と関連付ける。
• 遅延時間 τ を用いた遅延微分をフィードバックに組み込むことで、遅延項を導入する。
• 観測可能性不等式のもとで安定性を保証するため、伝達関数の有界性条件を用いる。
• 随伴系のスペクトル性質を分析するために、非調和フーリエ級数のインガムの不等式を適用する。
• 観測可能性不等式が、制御点 ξ が既約分数で表した際の分子が奇数である有理数である場合に限り成立することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 出力フィードバックが遅れ付きの結合2階方程式系を安定化するのはどのような条件下か？
• RQ2 有界でない制御作用素および結合作用素の存在が、系の安定性に与える影響は何か？
• RQ3 点制御の位置が、結合波動方程式の指数的安定性を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 随伴系の観測可能性不等式は、制御位置の数論的性質によって特徴付けられるか？
• RQ5 遅れ付きの結合弦系におけるエネルギー指数的減衰の正確な条件は何か？

主な発見

• 遅れ付きの結合系に対して指数的エネルギー減衰が成立するのは、制御位置 ξ が既約分数 ξ = p/q として表した際の分子 p が奇数である有理数である場合に限る。
• 保存的随伴系の観測可能性不等式は、インガムの不等式を用いて示されるように、ξ が既約分数で表した際の分子が奇数である有理数である場合に限り成立する。
• ディリクレ境界条件を伴う結合弦系では、すべての ξ ∈ (0,1) および β > 0 に対して指数的安定性は成立せず、これは観測可能性不等式が成立しないことを示している。
• ポテンシャル項を含む混合境界条件の下では、系は ξ が有理数で分子が奇数である場合に限り指数的安定となる。
• 開ループ系の伝達関数は、安定性条件のもとで有界のままである。これは安定性基準にとって不可欠である。
• 安定性結果は、系を遅延付き2階方程式に変換し、随伴系に対してアマリ＝トゥクスナックフレームワークを適用することで得られる。