[論文レビュー] Stabilization of periodic sweeping processes and asymptotic average velocity for soft locomotors with dry friction

Giovanni Colombo, Paolo Gidoni+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2021

Micro and Nano Robotics参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、平行移動する面を有する多面体集合を特徴とするスイーピング過程に対して、周期的解へのW¹,²収束を確立し、乾燥摩擦を有するソフトクローラーモデルにおける漸近的平均速度の適切な定義を厳密に証明する。著者らは、解がSobolev空間W¹,²において一意のランニング周期的軌道に収束することを示すことにより、従来の安定性結果を強化し、初期条件に依存しない、歩行パターンに依存する漸近的速度の存在を保証する。

ABSTRACT

We study the asymptotic stability of periodic solutions for sweeping processes defined by a polyhedron with translationally moving faces. Previous results are improved by obtaining a stronger $W^{1,2}$ convergence. Then we present an application to a model of crawling locomotion. Our stronger convergence allows us to prove the stabilization of the system to a running-periodic (or derivo-periodic, or relative-periodic) solution and the well-posedness of an average asymptotic velocity depending only on the gait adopted by the crawler. Finally, we discuss some examples of finite-time versus asymptotic-only convergence.

研究の動機と目的

• 移動する多面体集合を有するスイーピング過程における周期的解について、先行研究を上回る収束性を確立すること。
• 周期的駆動下におけるソフトロコモーターに対して、漸近的平均速度の存在および一意性を証明すること。
• 解が有限時間内に周期的挙動に収束するのか、それとも僅かに漸近的に収束するのかを分析すること。
• 生物学的模倣クローラーロボットにおける歩行最適化のための数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 時間に依存する多面体K(t)の法線被覆を含む微分包含としてソフトクローラーの運動方程式を再定式化する。
• 一般化されたMoreauのスイーピング過程フレームワークを適用し、形状変数w(t)および重心y(t)の時間発展を分析する。
• 形状変数w(t)のW¹,²収束を証明し、従来のL∞収束結果を拡張する。
• Poincaré写像および凸動集合の性質を用いて、長期的挙動と周期性を分析する。
• 有限時間収束が一般には保証されないことを示す反例を構成する。
• 周期的駆動下での系の漸近的挙動を分析し、歩行パターンに依存する漸近的平均速度v₀(G)を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移動する面を有する多面体を用いたスイーピング過程の解が、L∞の意味ではなくW¹,²の意味で周期的解に収束するか？
• RQ2 乾燥摩擦を有するソフトクローラーの漸近的平均速度が一意に定義可能であり、初期条件に依存しないか？
• RQ3 有限時間内に周期的挙動に収束する条件は何か？ また、いつそれは漸近的収束に限られるのか？
• RQ4 動く集合K(t)の構造、特にその幾何学的形状と運動様式が、系の収束特性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、平行移動する面を有する多面体集合を有するスイーピング過程に対して、解が周期的解にW¹,²収束することを確立した。
• スイーピング過程のすべての周期的解は、同じ導関数を持つため、漸近的速度の一貫性が保証される。
• 漸近的平均速度v₀(G)は適切に定義されており、初期条件に依存せず、歩行パターンGにのみ依存する。
• 一般には有限時間収束が保証されない。反例により、単純な幾何形状に対しても収束が僅かに漸近的である可能性があることが示された。
• 特別な場合として1つのセグメント（N=1）では、最初の駆動周期内に周期的挙動に有限時間で収束する。
• 得られた結果は、ソフトクローラーモデルに適用可能であり、歩行パターンに依存する漸近的平均速度の厳密な定義を可能にするとともに、ランニング周期的解への安定化を証明した。