[論文レビュー] Stabilization of slow-fast systems at fold points

Hildeberto Jardón-Kojakhmetov, Jacquelien M.A. Scherpen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2017

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、古典的特異摂動理論が失敗する非双曲的特異点（折りたたみ点）における遅い-速い系の安定化のための新しい制御則設計を提案する。幾何学的非特異化を用いて、系を双曲的挙動へと変換し、制御入力が遅い変数にのみ作用する条件下で、グローバル漸近的安定化を実現する。数値的妥当性は、電気回路モデルを用いたシミュレーションで確認された。

ABSTRACT

In this document, we deal with the stabilization problem of slow-fast systems (or singularly perturbed Ordinary Differential Equations) at a non-hyperbolic point. The class of systems studied here have the following properties: 1) they have one fast variable and an arbitrary number of slow variables, 2) they have a non-hyperbolic singularity of the fold type at the origin. The presence of the aforementioned singularity complicates the analysis and the controller design of such systems. In particular, the classical theory of singular perturbations cannot be used. We show a novel design process based on geometric desingularization, which allows the stabilization of a fold point of singularly perturbed control systems. Our results are exemplified on an electric circuit.

研究の動機と目的

• 古典的特異摂動理論が破綻する非双曲的折りたたみ点における遅い-速い制御系の安定化を解決すること。
• 既存の平面系に限った幾何学的非特異化手法を、任意の数の遅い変数と1つの速い変数を持つ系へと拡張すること。
• 速い変数を直接制御しなくてもよいように、遅い変数への制御入力のみで系を安定化する制御則の設計をすること。
• 実世界の電気回路例を用いた数値的妥当性の検証を通じて、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 特異点を拡大する変換を用いて、折りたたみ点における非双曲的特異点を解消するための幾何学的非特異化を適用する。
• 元の系を、原点が双曲的平衡点となる非特異化形式に変換する。
• 非特異化系に対してバックステッピング技法を用いて制御則を設計し、グローバル漸近的安定性を達成する。
• 制御則が遅い変数にのみ作用することを保証し、物理的実装可能性を維持するとともに、制御の複雑さを低減する。
• 制御則設計のため、折りたたみ点を原点に中心化する座標変換を導入する。
• 小パラメータ ε の分数乗、例えば ε⁻²ᐟ³ および ε⁻¹ᐟ³ を含む明示的な制御則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的特異摂動理論が失敗する遅い-速い系における折りたたみ型非双曲的特異点をどのように安定化できるか？
• RQ2 複数の遅い変数と1つの速い変数を持つ系に対し、幾何学的非特異化を拡張して制御則設計が可能か？
• RQ3 速い変数を直接制御しないで、遅い変数への制御入力のみで非双曲的折りたたみ点を安定化できるか？
• RQ4 このような系においてグローバル漸近的安定性を保証する制御則の構造は何か？
• RQ5 電気回路に特徴的な停止点（impasse points）を有する実世界の応用例において、制御則はどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案された制御則は、非双曲的特異点であるにもかかわらず、非特異化系の原点における折りたたみ点をグローバル漸近的に安定化する。
• 速い変数を直接制御しなくても、遅い変数への制御入力のみで制御則が有効であることが確認された。
• 電気回路モデルにおけるシミュレーション結果から、制御則作動後、速やかに目標の折りたたみ点に収束する傾向が観察され、安定性とロバストネスが裏付けられた。
• 制御則は、ε⁻²ᐟ³ や ε⁻¹ᐟ³ のように、小パラメータ ε の分数乗を明示的に含んでおり、問題の特異的性質を反映している。
• 本手法は、任意の数の遅い変数を持つ系に対しても有効であり、従来の平面系に限った結果を一般化している。
• 本手法は、正規双曲性の喪失を示す系、例えば停止点や極限円周を有する系など、電気系や生物学的系に一般的に見られる系の安定化を可能にする。