[論文レビュー] Stabilization of the asymptotic expansions of the zeros of a partial theta function

Vladimir Petrov Kostov|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2015

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ひとこと要約

本稿では、部分トータル関数 θ(q,x) の零点の漸近的展開における安定性に関する性質を確立する。既知の生成級数 r_k から導かれる修正された級数 (H_{m,j}) を導入することで、十分に大きな j および有界な k に対して、j 番目の零点のローラン展開における係数 g_{j,k} が (H_{m,j}) の係数と一致することを証明する。この安定性が成立する j および k の明示的な範囲を、再帰的分割数 r_k を用いて特定する。

ABSTRACT

The bivariate series $θ(q,x):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}x^j$ defines a {\em partial theta function}. For fixed $q$ ($|q|<1$), $θ(q,.)$ is an entire function. We prove a property of stabilization of the coefficients of the Laurent series in $q$ of the zeros of $θ$. These series are of the form $-q^{-j}+(-1)^jq^{j(j-1)/2}(1+\sum _{k=1}^{\infty}g_{j,k}q^k)$. The coefficients of the stabilized series are expressed by the positive integers $r_k$ giving the number of partitions into parts of three different kinds. They satisfy the recurrence relation $r_k=\sum _{ν=1}^{\infty}(-1)^{ν-1}(2ν+1)r_{k-ν(ν+1)/2}$. Set $(H_{m,j})~:~(\sum _{k=0}^{\infty}r_kq^k) (1-q^{j+1}+q^{2j+3}-\cdots +(-1)^{m-1}q^{(m-1)j+m(m-1)/2})= \sum _{k=0}^{\infty} ilde{r}_{k;m,j}q^k$. Then for $k\leq (m+2j)(m+1)/2-1-j$ and $j\geq (2m-1+\sqrt{8m^2+1})/2$ one has $g_{j,k}= ilde{r}_{k;m,j}$.

研究の動機と目的

• 部分トータル関数 θ(q,x) の j 番目の零点の漸近的展開における係数 g_{j,k} の既知の安定性性質を精緻化すること。
• 係数 g_{j,k} が修正された生成級数 (H_{m,j}) の係数と一致する、明確な条件を確立し、j が増加するに従って安定性が保たれることを保証すること。
• 分割数 r_k を用いた再帰的関係に基づいて、係数 g_{j,k} を特徴づけること。
• 非線形項が g_{j,k} の計算に影響を与えない j および k の範囲を特定し、(H_{m,j}) との正確な一致を可能にすること。

提案手法

• 生成級数 ∑r_k q^k と、q の累乗の有限交互和の積として定義される修正級数 (H_{m,j}) を、∑r̃_{k;m,j} q^k として定義する。
• 単項式 Ψ_ν = q^{ν(ν+1)/2} (-ξ_j)^ν のローラン展開の行列解析を用い、係数寄与を追跡し、g_{j,k} を支配する線形系を同定する。
• 行列構造から線形系 (2)、(3)、(4) を確立し、係数 g_{j,k} は、重み ν および (2j−1−ν) を持つ対になった単項式 Ψ_ν と Ψ_{2j−1−ν} から導かれる。
• k ≤ (m+2j)(m+1)/2 − 1 − j および j ≥ (2m−1 + √(8m²+1))/2 のとき、係数 g_{j,k} が r̃_{k;m,j} に等しいことを証明する。
• 非線形項に寄与する q の最小のべきを j(j+3)/2 として、j の下界を導出し、非線形項が係数計算に干渉しないことを保証する。
• 既知の再帰的関係 r_k = ∑_{ν=1}^∞ (−1)^{ν−1}(2ν+1) r_{k−ν(ν+1)/2} （r_0=1、k<0 のとき r_k=0）を用い、3種類の異なる部分に分割する分割数に基づく係数 r_k を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 θ(q,x) の j 番目の零点のローラン展開における係数 g_{j,k} が、修正級数 (H_{m,j}) の係数と一致する j および k の値は何か？
• RQ2 θ(q,−ξ_j) の展開における非線形項が g_{j,k} の計算に影響を与えない k の正確な範囲は何か？
• RQ3 係数行列への逐次的な列加算によって (H_{m,j}) に追加項が含まれる場合、g_{j,k} の安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 3種類の異なる部分に分割する分割数 r_k が、係数 g_{j,k} の安定化に果たす役割は何か？
• RQ5 高次の単項式 Ψ_ν (ν ≥ m+2j) が存在しない場合、g_{j,k} の計算に影響を与えない j および m における条件は何か？

主な発見

• j 番目の零点のローラン展開における係数 g_{j,k} は、すべての k ≤ (m+2j)(m+1)/2 − 1 − j および j ≥ (2m−1 + √(8m²+1))/2 に対して、級数 (H_{m,j}) の係数と一致する。
• 安定性条件は、θ(q,−ξ_j) の展開における非線形項が q^k の係数に寄与しない場合にのみ成立する。これは、そのような項の最小のべきが (m+2j)(m+1)/2 を超える場合に成立する。
• 非線形項に寄与する q の最小のべきは j(j+3)/2 であり、これが (m+2j)(m+1)/2 以上でなければならない。この条件から j の下界が導かれる。
• 数列 {r_k} は再帰的関係 r_k = ∑_{ν=1}^∞ (−1)^{ν−1}(2ν+1) r_{k−ν(ν+1)/2} （r_0=1、k<0 のとき r_k=0）で定義され、3種類の異なる部分への分割数を数える。
• r_k の最初の 39 値が明示的に列挙されており、r_1=3、r_2=9、r_3=22、r_4=51、r_5=108、r_6=221、r_7=429、r_8=810、r_9=1479 などである。
• 証明で用いられる行列 M_m は、非線形項を含まない行に制限され、その列構造により、g_{j,k} を支配する線形系が、提示された範囲内では (H_{m,j}) のそれと等価であることが保証される。