[論文レビュー] Stabilization of the Regularity of Powers of An Ideal

David Eisenbud, Bernd Ulrich|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2010

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$I$ が単一の次数で生成され、$M/IM$ が有限長であるという条件下で、$I$ のべきのコホホモロジー正則性の安定化に対する明示的で鋭い上限を確立する。$I^mM$ の正則性が $m \geq \mathcal{R}(I,M)$ の $(0,1)$-正則性であるとき、線形関数 $dm + e$ に安定化することを示し、この安定化点の上限を提供する。これにより、先行研究を拡張し、以前の提案よりも鋭い推定値を得ている。

ABSTRACT

When M is a finitely generated graded module over a standard graded algebra S and I is an ideal of S, it is known from work of Cutkosky, Herzog, Kodiyalam, Römer, Trung and Wang that the Castelnuovo-Mumford regularity of I^mM has the form dm+e when m >> 0. We give an explicit bound on the m$for which this is true, under the hypotheses that I is generated in a single degree and M/IM has finite length, and we explore the phenomena that occur when these hypotheses are not satisfied. Finally, we prove a regularity bound for a reduced, equidimensional projective scheme of codimension 2 that is similar to the bound in the Eisenbud-Goto conjecture [1984], under the additional hypotheses that the scheme lies on a quadric and has nice singularities.

研究の動機と目的

• $I$ が単一の次数で生成され、$M/IM$ が有限長であるとき、$I^mM$ の正則性が線形関数 $dm + e$ に安定化する明示的上限 $m_0$ を特定すること。
• 列 $e_m = \operatorname{reg}I^mM - dm$ 及びその差分の挙動を調査し、特にそれが弱く非増加列を形成するかどうかを検討すること。
• 単一次数生成の仮定を越えて分析を拡張し、$J$ が単一の次数で生成されるとき $I = J + (x_0,\dots,x_n)^D$ である場合の $e_m$ の公式を提供すること。
• 2次元のコドメインスの、弱い特異性を有する、二次曲面上に位置する、非特異的かつ等次元な射影的スキームに対して、Eisenbud-Goto予想に類似した正則性の上限を証明すること。

提案手法

• $T = S[y_0,\dots,y_r]$ 上のビグレード最小自由分解において、$\deg x_i = (1,0)$, $\deg y_i = (0,1)$ のとき、${\mathcal{R}}(I,M)$ の $(0,1)$-正則性を、次数 $(-a, -i-j)$ の自由和成分が現れる最大の $j$ として定義する。
• ${\mathcal{R}}(I,M) = S[It]M$ を $T$ 上のビグレード加群として用い、その分解を分析して安定化上限を導出する。
• スペクトル系列および局所コホホモロジーを用いて、関連層 $G = \mathfrak{gr}_I S_X$ の正則性を分析し、$\operatorname{reg}_y {\mathcal{R}}(I,S_X)$ と関連付ける。
• $S_X = {\mathcal{F}} + {\mathcal{F}}x$ で、$x$ は一般の一次形式で $x^2 \in I$ であるため $x^2 G = 0$ であることを用いて、$G$ 及びその商の構造を分析する。
• 有理特異性および双対モジュールに関する結果を活用する：特徴がゼロで孤立した非有理特異点を有するとき、$\operatorname{reg} \omega_{S_X} \leq \dim S_X = n-1$ である。
• $G/(0:_{G}x) \cong {\mathcal{F}}/({\mathcal{F}}:_{\mathcal{F}}S_X)$ の同型を用いて、$G$ の正則性と ${\mathcal{F}}$ 及びそのコロンイデアルの正則性を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $I$ が単一の次数で生成され、$M/IM$ が有限長であるとき、$\operatorname{reg}I^mM$ の安定化に対する鋭く明示的な上限 $m_0$ は何か？
• RQ2 同じ仮定の下で、差分 $e_m - e_{m+1}$ の列が弱く非増加列であるか？
• RQ3 $I$ が単一の次数で生成されない場合、特に $J$ が単一の次数で生成されるとき $I = J + (x_0,\dots,x_n)^D$ である場合、$I^mM$ の正則性はどのように振る舞うか？
• RQ4 2次元のコドメインスで、孤立した非有理特異点を有する二次曲面上に位置する、非特異的かつ等次元な射影的スキームに対して、Eisenbud-Goto予想に類似した正則性の上限を確立できるか？
• RQ5 これらの幾何的制約の下で、$S_X$ の正則性と $X$ の次数の関係は何か？

主な発見

• $I$ が単一の次数で生成され、$M/IM$ が有限長であるという仮定の下で、$\operatorname{reg}I^mM$ の安定化が $m \geq \operatorname{reg}_{(0,1)}{\mathcal{R}}(I,M)$ のとき、線形関数 $dm + e$ に起こり、これは明示的かつ鋭い上限である。
• 漸近的正則性 $e$ は、$I$ によって定義される準同型のファイバーに制限された $M$ に関連する層の正則性に等しく、幾何的解釈を提供する。
• $e_m = \operatorname{reg}I^mM - dm$ の列は弱く非増加であり、$m_0 = \operatorname{reg}_{(0,1)}{\mathcal{R}}(I,M)$ で $e$ に安定化する。この上限は、以前の提案よりも鋭い。
• 標数がゼロの体上の非特異的かつ等次元な射影的スキーム $X$ で、孤立した非有理特異点を有し、二次曲面上に位置する場合、$\operatorname{reg}S_X \leq \deg X$ が成り立つ。
• $x_1,\dots,x_n$ が一般の一次形式でイデアル $I$ を生成するとき、$\operatorname{reg}_y {\mathcal{R}}(I,S_X) \leq \deg X - \operatorname{codim}X + 1 = \deg X - 1$ が成り立ち、これはEisenbud-Goto予想に類似しているが、より弱い仮定の下で成り立つ。
• $G = \mathfrak{gr}_I S_X$ の正則性は $\operatorname{reg}G \leq \deg S_X - 1$ を満たす。これは、$\operatorname{reg}({\mathcal{F}}:_{\mathcal{F}}S_X)$ 及び $\operatorname{reg}{\mathcal{F}}$ の上限から導出され、${\mathcal{F}} \cong G/xG$ である。