[論文レビュー] Stabilized CutFEM for the Convection Problem on Surfaces

Erik Burman, Peter Hansbo+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、背景となる四面体メッシュ上の連続的区分線形有限要素を用いて、表面における対流問題のための安定化されたカット有限要素法（CutFEM）を提示する。この手法は、完全な要素面における勾配ジャンプ安定化を用いることで、離散的安定性および線形系の代数的安定性を確保し、エネルギーノルムにおいて最適な $h^{3/2}$ 収束および $L^2$ ノルムにおける全勾配に対して $h^{3/4}$ 収束を達成する。また、条件数は $h^{-2}$ で有界である。本手法は、表面に適合する三角形メッシュを必要とせず、標準的な有限要素解析をカットメッシュに拡張する。

ABSTRACT

We develop a stabilized cut finite element method for the convection problem on a surface based on continuous piecewise linear approximation and gradient jump stabilization terms. The discrete piecewise linear surface cuts through a background mesh consisting of tetrahedra in an arbitrary way and the finite element space consists of piecewise linear continuous functions defined on the background mesh. The variational form involves integrals on the surface and the gradient jump stabilization term is defined on the full faces of the tetrahedra. The stabilization term serves two purposes: first the method is stabilized and secondly the resulting linear system of equations is algebraically stable. We establish stability results that are analogous to the standard meshed flat case and prove $h^{3/2}$ order convergence in the natural norm associated with the method and that the full gradient enjoys $h^{3/4}$ order of convergence in $L^2$. We also show that the condition number of the stiffness matrix is bounded by $h^{-2}$. Finally, our results are verified by numerical examples.

研究の動機と目的

• 表面に適合するメッシュを必要としない、安定かつ収束する有限要素法を対流問題に対して開発すること。
• 標準的な有限要素法の安定性および収束理論を、不適合で任意の背景メッシュを用いるカット有限要素法に拡張すること。
• 離散化の結果生じる線形系の代数的安定性を保証すること。
• カットメッシュでさえも、エネルギーノルムおよび全勾配において最適な収束率を達成すること。
• トーラス表面における数値実験を通じて理論的結果の妥当性を検証すること。

提案手法

• 本手法は、$\mathbb{R}^3$ 内の背景四面体メッシュ上に定義された連続的区分線形有限要素空間を用い、表面をレベルセットとして埋め込む。
• 変分式は表面積分のみを含み、解および試験関数は離散的表面 $\Gamma_h$ に制限される。
• 完全な要素面における勾配ジャンプ安定化項を追加することで、手法の安定化および代数的安定性の確保を図る。
• 一貫性と安定性のバランスをとるために安定化パラメータ $c_F$ を選択し、数値実験では $c_F = 10^{-2}$ を用いる。
• 表面微分作用素を定義するために最近接点拡張を採用し、離散関数と連続関数を結ぶためのリフト技術を用いる。
• 安定性推定の局所化に覆い隠しの議論を用い、複雑度が有界な要素のクラスタを扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面に適合するメッシュを必要としない安定化 CutFEM は、表面における対流問題に対して最適な収束率を達成できるか？
• RQ2 完全な要素面における勾配ジャンプ安定化は、カット有限要素設定において離散的安定性および代数的安定性の両方を保証するか？
• RQ3 エネルギーノルムおよび $L^2$ ノルムにおける全勾配の収束次数は何か？
• RQ4 剛性行列の条件数はメッシュサイズ $h$ に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ5 類似した安定化メカニズムを用いて、標準的な有限要素の解析を不適合でカットメッシュに拡張できるか？

主な発見

• エネルギーノルムにおいて最適な $h^{3/2}$ 収束率を達成し、適合メッシュ上での標準的有限要素法と同一の性能を示す。
• $L^2$ ノルムにおける全勾配の誤差は $h^{3/4}$ の速度で収束し、三角形メッシュ上でのストリームライン拡散法よりも優れている。
• 剛性行列の条件数は $h^{-2}$ で有界であり、線形系の良好な条件付けを保証する。
• 安定化項により自然エネルギーノルムにおける離散的安定性が確保され、最適な事前誤差推定の導出が可能になる。
• 数値実験により、$L^2$ ノルム、エネルギーノルム、勾配誤差の理論的収束率が確認された。
• 条件数の検証では、漸近的 $h^{-2}$ スケーリングが観察されたが、粗いメッシュや大きな安定化パラメータではずれが生じた。