[論文レビュー] Stabilized reduced basis methods for parametrized steady Stokes and Navier-Stokes equations

Shafqat Ali, Francesco Ballarin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 51被引用数 47

ひとこと要約

本稿では、パrametrized定常ストークスおよびナビエ-ストークス方程式に適用された低次元ベース（RB）法に、残留に基づく安定化手法（Brezzi-Pitkaranta、Franca-Hughes、SUPG、GLS）を提案する。安定化をオフライン・オンラインRB計算フレームワークに統合することで、超限界関数による速度空間の拡張を必要とせず、安定なインフラ条件を達成でき、より小さな低次元空間と高いオンライン効率を実現しながら、超限界関数拡張手法と同等の精度を維持する。

ABSTRACT

It is well known in the Reduced Basis approximation of saddle point problems that the Galerkin projection on the reduced space does not guarantee the inf-sup approximation stability even if a stable high fidelity method was used to generate snapshots. For problems in computational fluid dynamics, the lack of inf-sup stability is reflected by the inability to accurately approximate the pressure field. In this context, inf-sup stability is usually recovered through the enrichment of the velocity space with suitable supremizer functions. The main goal of this work is to propose an alternative approach, which relies on the residual based stabilization techniques customarily employed in the Finite Element literature, such as Brezzi-Pitkaranta, Franca-Hughes, streamline upwind Petrov-Galerkin, Galerkin Least Square. In the spirit of extit{offline-online} reduced basis computational splitting, two such options are proposed, namely extit{offline-only stabilization} and extit{offline-online stabilization}. These approaches are then compared to (and combined with) the state of the art supremizer enrichment approach. Numerical results are discussed, highlighting that the proposed methodology allows to obtain smaller reduced basis spaces (i.e., neglecting supremizer enrichment) for which a modified inf-sup stability is still preserved at the reduced order level.

研究の動機と目的

• 流体力学における鞍部問題のRB近似におけるインフラ不安定性という、長年の課題に取り組む。
• 標準的なRB法では、安定な高精度な定式化が、安定な低次元解を保証しないという制限を克服する。
• 通常、RB速度空間の安定化に用いられる超限界関数拡張の代替手段を提供し、オンライン計算コストの増加を回避する。
• 古典的な残留に基づく安定化手法（例：SUPG、GLS）をパラメータ化された問題に適応し、オフライン・オンラインRBフレームワークに統合する。
• 最新の超限界関数拡張手法と比較し、精度と計算効率のトレードオフを評価する。

提案手法

• 古典的な残留に基づく安定化手法（Brezzi-Pitkaranta、Franca-Hughes、SUPG、GLS）を、パラメータ化されたストークスおよびナビエ-ストークス問題の低次元ベースフレームワークに適応する。
• 2つの安定化戦略を導入する：オフラインのみの安定化（スナップショット生成時にのみ安定化）と、オフライン・オンライン両方の安定化（オフラインおよびオンライン段階で安定化）。
• パラメータ変動にわたる一貫性を保証するため、変換テンソルを用いて安定化された弱形式を定式化する。
• 安定化項を変分形式に組み込むことで、低次元空間へのガレルキン射影を用いて安定化RB法を実装する。
• パラメータ依存の幾何形状を固定配置に写像するための基準領域アプローチを採用し、オフラインアセンブリをパラメータに依存しない形に保つ。
• キャビティフローなどのベンチマーク問題に、物理的（レイノルズ数）および幾何的（領域長さ）パラメータを含めて適用し、性能と安定性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 残留に基づく安定化手法は、速度空間の拡張を伴わずに、低次元ベース法に効果的に適応可能であり、インフラ安定性を保証できるか？
• RQ2 精度と安定性の観点から、オフラインのみの安定化とオフライン・オンライン両方の安定化の性能はどのように比較されるか？
• RQ3 超限界関数拡張と比較して、残留に基づく安定化は、低次元ベース空間に必要な次元をどの程度削減できるか？
• RQ4 安定化RB法と超限界関数拡張RB法を比較した場合、精度とオンライン計算コストのトレードオフはどのようなものか？
• RQ5 安定化RB法は、超限界関数拡張法と同等の精度を達成しながら、オンライン計算時間を著しく短縮できるか？

主な発見

• オフライン・オンライン安定化戦略は、すべての数値例において、速度および圧力の誤差が10−4未満となる安定的かつ高精度な解を達成する。
• オフラインのみの安定化アプローチは、オフライン段階とオンライン段階の不一致により、顕著に大きな誤差を生じさせ、特に圧力近似に影響を与える。
• 超限界関数拡張を用いない安定化RB法は、超限界関数拡張法と同等の精度を達成し、圧力誤差は最大で1桁改善される。
• 超限界関数拡張を省略することで、オンライン計算時間が最大50％短縮され、P1/P1では195秒から87秒へ、P2/P2では242秒から180秒へと低下する。
• 超限界関数を含まないオフライン・オンライン安定化法は、超限界関数拡張バージョンよりも高速なオンライン性能を達成し、実用的応用に十分な精度を維持する。
• 残留に基づく安定化と超限界関数拡張を併用すると、特に圧力の精度が最も高くなるが、オンラインの複雑性が増加する。性能を最優先する場合には、安定化のみのアプローチがより適切である。