[論文レビュー] Stabilizer Circuits, Quadratic Forms, and Computing Matrix Rank

Chaowen Guan, Kenneth W. Regan|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、回路サイズ $s$ と行列乗算指数 $ \omega$ に対して、$O(s + n^\omega)$ 時間の強シミュレーションアルゴリズムを $n$-キュービットの安定化子回路に対して提示する。この研究では、$ ackslash mathbb{F}_2$ 上での行列ランクの計算と、確率 $p = |\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$ の計算との間で線形時間の同値性を確立し、従来の $O(n^3)$ 界より改善した。さらに、量子安定化子回路と $ ackslash mathbb{Z}_4$ 上の古典的二次形式の間の関係を確立した。主な結果は、量子シミュレーションと行列ランクの間の近似的にタイトな関係であり、安定化子回路の効率的古典的シミュレーションおよび $ ackslash mathbb{F}_2$ 上の二次形式の解の個数数え上げに応用される。

ABSTRACT

We show that a form of strong simulation for $n$-qubit quantum stabilizer circuits $C$ is computable in $O(s + n^ω)$ time, where $ω$ is the exponent of matrix multiplication. Solution counting for quadratic forms over $\mathbb{F}_2$ is also placed into $O(n^ω)$ time. This improves previous $O(n^3)$ bounds. Our methods in fact show an $O(n^2)$-time reduction from matrix rank over $\mathbb{F}_2$ to computing $p = |\langle \; 0^n \;|\; C \;|\; 0^n \; angle|^2$ (hence also to solution counting) and a converse reduction that is $O(s + n^2)$ except for matrix multiplications used to decide whether $p > 0$. The current best-known worst-case time for matrix rank is $O(n^ω)$ over $\mathbb{F}_2$, indeed over any field, while $ω$ is currently upper-bounded by $2.3728\dots$ Our methods draw on properties of classical quadratic forms over $\mathbb{Z}_4$. We study possible distributions of Feynman paths in the circuits and prove that the differences in $+1$ vs. $-1$ counts and $+i$ vs. $-i$ counts are always $0$ or a power of $2$. Further properties of quantum graph states and connections to graph theory are discussed.

研究の動機と目的

• 従来の $O(n^3)$ 界を超えて、$n$-キュービット安定化子回路の強シミュレーションの漸近的実行時間を改善すること。
• 安定化子回路において、$ \mathbb{F}_2$ 上での行列ランクの計算と、確率振幅 $|\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$ の計算との間でタイトな計算的同値性を確立すること。
• [EK90] における $O(n^3)$ 界を改善し、$ \mathbb{F}_2$ 上の二次形式の解の個数数え上げを $O(n^\omega)$ 時間に拡張すること。
• 量子安定化子回路、グラフ状態、および $ \mathbb{Z}_4$ 上の古典的二次形式との間の関係を形式化し、効率的な還元を可能にすること。

提案手法

• 入力行列から導かれる対称的ブロック行列に基づく量子グラフ状態構築により、$ \mathbb{F}_2$ 上での行列ランク計算を、$p = |\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$ の計算に還元する。
• 任意の $n$-キュービット安定化子回路 $C$ を、すべての量子振幅と性質を保持する $ \mathbb{Z}_4$ 上の古典的二次形式 $q_C$ に変換する。
• $\mathbf{B} = \mathbf{P}\mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{L}^T\mathbf{P}^T$ の正規分解を $q_C$ に関連する行列に $ \mathbb{F}_2$ 上で適用し、ランクと振幅の計算を効率的に行う。
• $\mathbb{Z}_4$-ベースの行列演算を用いて $\mathbf{D}' = \mathbf{L}^{-1}\mathbf{P}^T\mathbf{A}\mathbf{P}(\mathbf{L}^{-1})^T$ を計算し、2 が含まれるかどうかをチェックすることで、振幅がゼロかどうかを特定する。
• ファインマン経路積分における $+1$ と $-1$、$+i$ と $-i$ の経路数の差が常に $0$ または $2$ の累乗であることに着目し、振幅の効率的評価を可能にする。
• [AG04] の正規形を用いて、ハダマードゲート数 $h$ とゲート数 $s$ をバインドし、$O(s + h^\omega)$ 時間の実行時間を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強シミュレーションが、従来の $O(n^3)$ 界を超えて $O(s + n^\omega)$ 時間で実行可能か。
• RQ2 行列ランクの計算が $ \mathbb{F}_2$ 上で、$h = \Theta(n)$ かつ $s = O(n^2)$ の安定化子回路において、$p = |\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$ の計算と線形時間で同値か。
• RQ3 量子回路還元を用いて、$ \mathbb{F}_2$ 上の二次形式の解の個数数え上げを $O(n^\omega)$ 時間に加速可能か。
• RQ4 安定化子回路の構造とそれに関連する $ \mathbb{Z}_4$ 上の位相多項式の性質により、振幅および確率の計算に対するタイトなバインドが得られるか。
• RQ5 出力確率分布または振幅の絶対値の観点から、2つの安定化子回路の等価性をテスト可能か。

主な発見

• $s$ 個のゲートと $h$ 個のハダマードゲートをもつ $n$-キュービット安定化子回路の強シミュレーションは、$O(s + h^\omega)$ 時間で実行可能であり、$ \omega < 2.3729$ である。これは従来の $O(n^3)$ 界を改善する。
• $p > 0$ であるという前提のもとで、$ \mathbb{F}_2$ 上での行列ランクの計算と $p = |\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$ の計算との間で線形時間の同値性が成立し、これは二部グラフに制限しても成り立つ。
• $\mathbb{F}_2$ 上の二次形式の解の個数数え上げは、$O(n^\omega)$ 時間で解ける。これは [EK90] の $O(n^3)$ 界を改善する。
• 振幅 $\langle 0^n|C|0^n \rangle$ がゼロであることは、$ \mathbb{Z}_4$ 変換された行列 $\mathbf{D}'$ に $2$ が含まれる場合に限り成立し、これは効率的にチェック可能である。
• ファインマン経路積分における $+1$ と $-1$、$+i$ と $-i$ の経路数の差は常に $0$ または $2$ の累乗であるため、振幅の効率的評価が可能である。
• 密度行列に対しては、行列ランクから $p$ への還元が線形時間で可能であり、逆に $p$ から行列ランクへの還元も、$p > 0$ をテストするための行列乗算を除き $O(s + n^2)$ 時間で可能である。