[論文レビュー] Stabilizer Codes for Continuous-variable Quantum Error Correction

Richard Barnes|ArXiv.org|May 13, 2004

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、$GF(2)^{2n}$ 上のパウリ群の要素を $\mathbb{R}^{2n}$ 内の実シンプレクティックベクトルを介してヘイゼンベルク＝ワイル群の演算子へ写像することにより、離散変数量子エラー訂正符号を一般化する連続変数安定化子形式を導入する。これにより、既知の離散符号から連続変数符号を構築可能となり、3つの論理モードを8モードに符号化する新しい符号が得られる。また、連続変数系における論理操作および安定化子生成子を系統的に導出する手法を提供する。

ABSTRACT

A generalization of the stabilizer code construction presented by Gottesman is described, which allows for the construction of quantum error-correcting codes for continuous-variable systems. This formalism describes all continuous-variable codes presented to date, and can be used to construct new codes based on discrete-variable codes or classical codes. We use it to describe the nine-mode code given by Lloyd and Slotine, and a five-mode code described by Braunstein. In addition, we construct a new continuous-variable code based an code of Gottesman which encodes three logical modes of information into eight physical modes and corrects one error. This generalization is a step toward an independent understanding of continuous-variable quantum information and a theory of fault-tolerant quantum information processing.

研究の動機と目的

• 連続変数量子エラー訂正のための離散変数安定化子形式の一般化を構築すること。
• 既知の離散変数符号から連続変数量子エラー訂正符号を系統的に構築するための方法を確立すること。
• シンプレクティックベクトル空間を用いて、連続変数系における論理操作および安定化子生成子を導出可能にする。
• 本形式を用いて既知の符号を再導出するとともに、8つの物理モードに3つの論理モードを符号化する新しい符号を構築することで、形式の有効性を示すこと。
• 離散および連続形式を統合することで、フォールトトレランスな連続変数量子計算の基盤を築くこと。

提案手法

• $GF(2)^{2n}$ 上の $n$ ピクセルパウリ群を $\mathbb{R}^{2n}$ 内のベクトルを介して連続変数ヘイゼンベルク＝ワイル群へ写像し、非可換関係を保存すること。
• 連続変数安定化子生成子を $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{2n}$ のシンプレクティックベクトルとして表現し、演算子 $U(\mathbf{v}) = \exp\left(i\pi\sum_{i=1}^{n}(s_i\hat{p}_i + t_i\hat{q}_i)\right)$ を定義すること。
• 演算子間の非可換関係を定義するために、シンプレクティック形式 $\omega(\mathbf{v}, \mathbf{v}') = \sum_{i=1}^{n}(s_i t'_i - s'_i t_i)$ を用いること。
• シンプレクティックに可換なベクトルの実係数線形結合を用いて、連続パウリ群のアーベル部分群を構築すること。
• 離散符号（例：ゴットスマンの3キュービット、8キュービット符号）に本形式を適用する際、生成行列を実シンプレクティック行列に変換すること。
• 論理パウリ演算子 $\bar{X}(t)$ および $\bar{Z}(t)$ を、符号化状態に作用するユニタリ変換として導出することにより、安定化子構造を保持すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックベクトル空間を用いて、離散変数安定化子形式を連続変数量子系へ一般化できるか？
• RQ2 本形式を用いて、既知の離散量子符号を系統的に連続変数符号に翻訳できるか？
• RQ3 連続変数符号における論理操作（例：$\bar{X}(t)$、$\bar{Z}(t)$）の構造はいかなるものか？
• RQ4 1つ以上の論理モードを符号化できる新しい連続変数符号を構築できるか？
• RQ5 本形式は、フォールトトレランスな連続変数量子計算にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿では、$GF(2)^{2n}$ 上の離散安定化子形式と $\mathbb{R}^{2n}$ 上の連続形式との間に一対一の対応関係を確立し、離散符号を連続符号へ直接翻訳可能であることを示した。
• シンプレクティックベクトル表現を用いて、ロイドとスロティーネの9モード符号およびブラウンスタインの5モード符号を再導出した。
• ゴットスマンの3キュービット、8キュービット符号に基づき、3つの論理モードを8つの物理モードに符号化する新しい連続変数符号を構築した。
• 論理操作 $\bar{X}(t)$ および $\bar{Z}(t)$ が明示的に導出され、符号化状態に正しく作用し、安定化子構造を保持することが示された。
• 3モードの位置固有状態の符号化が、8モードの位置状態の重ね合わせとして表現され、多モード連続情報の符号化が可能であることを示した。
• 本手法により、カルダー・ショア・シュリーン形式に由来する符号を含め、任意の離散安定化子符号から連続変数符号を系統的に生成するアルゴリズムが提供された。