[論文レビュー] Stabilizing discrete empirical interpolation via randomized and deterministic oversampling

Benjamin Peherstorfer, Zlatko Drmač+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 36被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、ノイズのある条件下における非線形モデル還元における経験的補間を安定化するため、確率的および決定的 oversampling 技術を提案する。確率的解析と k-means クラスタリングに関連する固有ベクトルに基づくサンプリング戦略を活用することで、ガウスノイズおよび数値誤差に対してより高い耐性を示し、合成問題および拡散反応問題において検証された。

ABSTRACT

This work investigates randomized and deterministic oversampling in (discrete) empirical interpolation for nonlinear model reduction. Empirical interpolation derives approximations of nonlinear terms from a few samples via interpolation in low-dimensional spaces. It has been demonstrated that empirical interpolation can become unstable if the samples from the nonlinear terms are perturbed due to, e.g., noise, turbulence, and numerical inaccuracies. Our probabilistic analysis shows that randomized oversampling stabilizes empirical interpolation in the presence of Gaussian noise. Furthermore, we present deterministic oversampling strategies that select points by descending in directions of eigenvectors corresponding to sampling point updates and by establishing connections between sampling point selection and k-means clustering. Our numerical results demonstrate on synthetic and diffusion-reaction problems that randomized and deterministic oversampling with our approach stabilizes empirical interpolation in the presence of noise.

研究の動機と目的

• 非線形項のサンプルがノイズ、乱流、または数値誤差によって摂動された場合の経験的補間の不安定性を解消すること。
• サンプリングの摂動が低次元モデル還元における離散的経験的補間の安定性に与える影響を調査すること。
• ノイズの存在下でも精度と安定性を維持できる強固なサンプリング戦略の開発。
• サンプリング点選択と k-means クラスタリングの間の理論的および数値的関係を確立し、点の分布を改善すること。
• 合成的および実世界の PDE 問題において、確率的および決定的 oversampling が経験的補間を安定化させることの有効性を実証すること。

提案手法

• 確率的解析を用いて、確率的 oversampling がガウスノイズ下で経験的補間を安定化することを示す。
• サンプリング点更新行列の固有ベクトルに基づく決定的 oversampling 戦略を導入する。
• k-means クラスタリングに整合する最適化問題としてサンプリング点選択を定式化し、空間的分布を改善する。
• oversampling を経験的補間フレームワークに統合し、条件数を低減し、数値的安定性を向上させる。
• 低次元の補間空間を用いて非線形項を近似し、入力摂動への感受性を最小限に抑える。
• 確率的および決定的戦略を組み合わせることで、多様なノイズレベルおよび問題設定においてより高い耐性を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウスノイズは非線形モデル還元における経験的補間の安定性にどのように影響するか？
• RQ2 確率的 oversampling は、ノイズのあるサンプリング条件下で、経験的補間を効果的に安定化できるか？
• RQ3 固有ベクトルおよびクラスタリングに基づく決定的サンプリング戦略は、補間の安定性をどのように向上させるか？
• RQ4 さまざまな非線形問題タイプにおいて、oversampling 技術の性能および耐性はどのように比較されるか？
• RQ5 oversampling は、経験的補間における条件数の増大をどの程度低減し、精度を向上させるか？

主な発見

• 確率的解析により、確率的 oversampling がガウスノイズ下で経験的補間を安定化することが確認された。
• サンプリング更新行列の固有ベクトルに基づく決定的 oversampling 戦略は、補間の安定性を向上させ、摂動への感受性を低減した。
• 提案された決定的戦略は、サンプリング点選択と k-means クラスタリングの間に直接的な関連を確立し、空間的分布の質を向上させた。
• 合成問題および拡散反応問題における数値実験により、両方の oversampling アプローチが不安定性を低減し、精度を向上させることを確認した。
• 補間行列の条件数の増大を効果的に緩和したため、より信頼性の高い低次元モデルが得られた。
• 確率的および決定的 oversampling の組み合わせにより、多様なノイズレベルおよび問題設定において、強固な性能が得られた。