[論文レビュー] Stable-1/2 Bridges and Insurance: a Bayesian approach to non-life reserving

Edward Hoyle, Lane P. Hughston+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2010

Probability and Risk Models参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、支払済み損害の累積をモデル化するために安定分布1/2の確率的ブリッジを用いたベイズ非生命損害予約モデルを提案する。この手法により、最終損害に対する柔軟な事前分布の指定が可能となり、最良推定最終損害プロセスの明示的計算が可能となる。時間変換を用いた決定論的変更により、観察された発展パターンに適合でき、極端な損害発生状況にも適している。一般化逆ガウス（GIG）分布が自然な事前分布として浮き彫りとなり、主要な数量の有理関数表現も得られる。

ABSTRACT

We develop a non-life reserving model using a stable-1/2 random bridge to simulate the accumulation of paid claims, allowing for an arbitrary choice of a priori distribution for the ultimate loss. Taking a Bayesian approach to the reserving problem, we derive the process of the conditional distribution of the ultimate loss. The ‘best-estimate ultimate loss process ’ is given by the conditional expectation of the ultimate loss. We derive explicit expressions for the best-estimate ultimate loss process, and for expected recoveries arising from aggregate excess-of-loss reinsurance treaties. Use of a deterministic time change allows for the matching of any initial (increasing) development pattern for the paid claims. We show that these methods are well-suited to the modelling of claims where there is a non-trivial probability of catastrophic loss. The generalized inverse-Gaussian (GIG) distribution is shown to be a natural choice for the a priori ultimate loss distribution. For particular GIG parameter choices, the best-estimate ultimate loss process can be written as a rational function of the paid-claims process. We extend the model to include a second paid-claims process, and allow the two processes to be dependent. The results obtained can be applied to the modelling of multiple lines of business or multiple origin years. The multidimensional model has the attractive property that the dimensionality of calculations remains low, regardless of the number of paid-claims processes. An algorithm is provided for the simulation of the paid-claims processes.

研究の動機と目的

• 非自明な極端な損害発生確率を考慮しつつも、計算の実行可能性を保ちながら、非生命損害予約のための堅牢なベイズフレームワークの構築。
• 最終損害に対する任意の事前分布を組み込むことで、支払済み損害の発展を柔軟にモデル化すること。
• 集約超過損失再保険契約下での最良推定最終損害プロセスおよび期待再保険回収の明示的表現の導出。
• 計算次元が低く保たれるように、複数の依存する損害プロセスへのモデルの拡張。
• 複数の営業分野や発生年度にわたる実装を可能にする、支払済み損害プロセスのシミュレーションアルゴリズムの提供。

提案手法

• 支払済み損害の時間的累積を確率的ブリッジとしてモデル化する。
• ベイズフレームワークを用いて、観察された支払済み損害を条件とした最終損害の条件付き分布を導出する。
• モデルの発展パターンを観察された初期損害パターンに一致させるために、決定論的時間変換を適用する。
• 最終損害の自然な共役事前分布として、一般化逆ガウス（GIG）分布を選択し、解析的取り扱いの容易さを実現する。
• GIG事前分布下での最終損害の条件付き期待値として、最良推定最終損害プロセスを導出する。
• 計算複雑度が低次元のまま保たれる多次元フレームワークを用いて、複数の依存する損害プロセスへのモデルの拡張を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な極端な損害発生確率を扱えるようにしながらも、計算の実行可能性を保つベイズ非生命損害予約モデルをどのように構築できるか。
• RQ2 最終損害の事前分布としてどのような選択が、最良推定最終損害プロセスの解析的表現を可能にするか。
• RQ3 時間変換機構を用いることで、支払済み損害の初期発展パターンを任意に適合できるか。
• RQ4 最良推定最終損害プロセスが、支払済み損害プロセスの有理関数に簡略化される条件は何か。
• RQ5 計算次元が増加しないように、複数の依存する損害プロセスへのモデルの拡張は可能か。

主な発見

• 提案されたベイズフレームワークにおいて、一般化逆ガウス（GIG）分布は、最終損害の事前分布として自然かつ解析的に扱いやすい選択である。
• GIG事前分布の特定のパrameter設定下では、最良推定最終損害プロセスを観察された支払済み損害プロセスの有理関数として表現でき、計算が効率的になる。
• 決定論的時間変換により、支払済み損害の任意の初期増加発展パターンを正確に再現できる。
• モデルの多次元拡張は、損害プロセスの数に関わらず低次元計算を維持するため、複数の営業分野や発生年度の効率的モデリングが可能である。
• 集約超過損失再保険契約下での期待回収額について、明示的な表現が導出され、実務的リスク管理応用が強化される。
• 支払済み損害プロセスをシミュレートするアルゴリズムが提供され、実装およびシナリオ分析への対応が可能となる。