[論文レビュー] Stable and Unstable operations in Algebraic Cobordism

Alexander Vishik|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、代数的コボルドゥリズムにおける加法的不安定作用素と無限射影空間の積上のホモモーフィズム族の間の1対1対応を確立し、このような作用素の体系的な構成を可能にする。不安定な加法的作用素は、射影空間の積上で整数値をとるLandweber-Novikov作用素の有理係数線形結合にちょうど一致し、安定作用素はそれらの作用素のℤ係数線形結合にちょうど一致する。さらに、すべての素数について整数係数のアダムス作用素および対称作用素を構成する。

ABSTRACT

We describe additive (unstable) operations from a theory A^* obtained from Algebraic Cobordism of M.Levine-F.Morel by change of coefficients to any oriented cohomology theory B^*. We prove that there is 1-to-1 correspondence between the set of operations, and the set of transformations: A^n((P^{\infty})^{ imes r}) ---> B^m((P^{\infty})^{ imes r}) satisfying certain simple properties. This provides an effective tool of constructing such operations. As an application, we prove that (unstable) additive operations in Algebraic Cobordism are in 1-to-1 correspondence with the L\otimes_Z Q-linear combinations of Landweber-Novikov operations which take integral values on the products of projective spaces. On our way we obtain that stable operations there are exactly L-linear combinations of Landweber-Novikov operations. We also show that multiplicative operations A^* ---> B^* are in 1-to-1 correspondence with the morphisms of the respective formal group laws. We construct Integral (!) Adams Operations in Algebraic Cobordism, and all theories obtained from it by change of coefficients, giving classical Adams operations in the case of K_0. Finally, we construct Symmetric Operations for all primes p (these operations in Algebraic Cobordism, previously known only for p=2, are more subtle than the Landweber-Novikov operations, and have applications to rationality questions), as well as the T.tom Dieck - style Steenrod operations in Algebraic Cobordism. As a bi-product of the proof of our main theorem we get the Riemann-Roch Theorem for additive (unstable) operations.

研究の動機と目的

• 特徴零の体上の代数的コボルドゥリズムにおける加法的不安定作用素を体系的に構成するための方法を開発すること。
• 射影空間の積における作用の挙動に着目して、向き付けられたコホモロジー理論間の不安定および安定作用素を分類すること。
• 古典的構成を拡張し、代数的コボルドゥリズムにおいてすべての素数について整数係数のアダムス作用素および対称作用素を構成すること。
• 加法的作用素に対するリーマン・ローチの定理を、乗法的ケースを一般化して証明すること。
• 有理型理論（例えば代数的コボルドゥリズム）が、低次元の代数的多様体上の値によって完全に決定されることを確立すること。

提案手法

• 著者らは、下位次元の制限からコホモロジー値を再構成可能な能力を特徴づける「有理型理論」の概念を導入する。
• 彼らは滑らか多様体の圏に短い双複体構造を定義し、吹き上げやプッシュフォワードにおける作用素の挙動を分析する。
• ヒロナカの特異点解消定理および弱因子化定理を用いて、作用素の研究を射影空間の積における作用に還元する。
• 作用素 $ A^n \to B^m $ と、特定の整合性および安定性条件を満たす $ (\mathbb{P}^\infty)^{\times r} $ 上のホモモーフィズム族の間の1対1対応を確立する。
• この枠組みを用いて、射影空間の積上で整数値をとるLandweber-Novikov作用素の有理係数線形結合として、不安定作用素を分類する。
• 同じ枠組みを用いて、すべての素数について対称作用素およびT. トム・ディエック風のスティーネロード作用素を構成し、以前の mod 2 の構成を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的コボルドゥリズムにおける加法的不安定作用素の完全な分類は何か？
• RQ2 代数的コボルドゥリズムおよび関連理論において、整数係数のアダムス作用素を効果的に構成する方法は何か？
• RQ3 すべての素数について、特に p=2 に限らず、代数的コボルドゥリズムにおいて対称作用素を構成できるか？
• RQ4 有理型理論の役割は、作用素の帰納的構成を可能にするものであるか？
• RQ5 加法的作用素は形式的群法則とどのように関係するのか？ 乗法的ケースを超えてリーマン・ローチの定理を一般化できるか？

主な発見

• 不安定な加法的作用素 $ A^n \to B^m $ は、射影空間の積上で整数値をとる $ \mathbb{L} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q} $-係数線形結合のLandweber-Novikov作用素にちょうど1対1に対応する。
• 安定作用素は、Landweber-Novikov作用素の $ \mathbb{L} $-係数線形結合にちょうど一致する。
• 整数係数のアダムス作用素は代数的コボルドゥリズムおよび係数変換によって得られるすべての理論において構成され、古典的K理論作用素の拡張を提供する。
• すべての素数について対称作用素およびT. トム・ディエック風のスティーネロード作用素が構成され、理論における長年の欠落が解消された。
• 加法的作用素に対するリーマン・ローチの定理が確立され、[19]で既に知られていた乗法的ケースを一般化した。
• 係数変換によって代数的コボルドゥリズムから得られる理論 $ A^* $ が有理型理論であることが示され、低次元のデータによる作用素の帰納的構成が可能になる。