[論文レビュー] Stable CMC integral varifolds of codimension $1$: regularity and compactness

Costante Bellettini, Neshan Wickramasekera|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、体積保存変換に関して面積に対して静的かつ安定な codimension-1 積分的バーリューフォルムに対して、鋭い正則性およびコンパクト性定理を確立する。このようなバーリューフォルムは、Hausdorff コディメンジョンが 7 以上の閉集合を除き $C^2$ 定常平均曲率超曲面であることが示され、正則部に二つの容易に確認できる構造的条件が満たされている場合、二つの $C^2$ ディスクの接する交わりでの孤立特異点のみが許容される。

ABSTRACT

We give two structural conditions on a codimension $1$ integral $n$-varifold with first variation locally summable to an exponent $p>n$ that imply the following: whenever each orientable portion of the $C^{1}$-embedded part of the varifold (which is non-empty by the Allard regularity theory) is stationarity and the $C^{2}$-immersed part of it is stable with respect to the area functional for volume preserving deformations, its support, except possibly on a closed set of codimension $7$, is an immersed constant-mean-curvature (cmc) hypersurface of class $C^{2}$ that can fail to be embedded only at points where locally the support is the union of two $C^{2}$ embedded cmc disks with only tangential intersection. Both structural conditions are necessary for the conclusions and involve only those parts of the varifold that are made up of embedded $C^{1, α}$-regular pieces coming together in a regular fashion, making them easy to check in principle. We show also that any family of codimension 1 integral varifolds satisfying these structural and variational hypotheses as well as locally uniform mass and mean curvature bounds is compact in the varifold topology. Our results generalize both the regularity theory of the second author (for stable minimal hypersurfaces) and the regularity theory of Schoen--Simon, for hypersurfaces satisfying a priori a smallness hypothesis on the singular set in addition to the variational hypotheses). Corollaries of the main varifold regularity theorem are obtained for sets of locally finite perimeter, which generalize the regularity theory of Gonzalez--Massari--Tamanini for boundaries that locally minimize perimeter subject to the fixed enclosed volume constraint.

研究の動機と目的

• a priori に $C^2$ 正則性を仮定せずに、積分的バーリューフォルムとして表現される安定定常平均曲率（CMC）超曲面の局所的正則性理論を構築すること。
• Wicreskera（2014）による安定最小超曲面の正則性およびコンパクト性結果と、Schoen–Simon（1981）による $C^2$ CMC 超曲面の結果を、a priori の特異集合の大きさに関する仮定なしに、$L^p$ 一階変分を持つ積分的バーリューフォルムの設定に一般化すること。
• 支持集合の $C^2$ 正則性が成り立つための必要十分条件である、バーリューフォルムの $C^1$-埋め込み正則部における二つの構造的条件を同定すること。
• 一様な質量および平均曲率の有界性のもとで、このようなバーリューフォルムの族に対するコンパクト性定理を確立し、バーリューフォルム設定に理論を拡張すること。

提案手法

• 著者らは、バーリューフォルムの $C^1$-埋め込み正則部に二つの構造的条件を導入し、正則部が正則的かつ制御可能なかたちで接合されることを保証する。
• Allard の正則性理論を適用し、$p > n$ の $L^p$ 一階変分の仮定のもとで、非空の $C^1$-埋め込み部分が存在することを確認する。
• 証明は、スケーリング解析（ブロー・アップ解析）を用いた帰納的証明に基づく三つの定理の階層に依存する：シーティング定理、最小距離定理、および高次の正則性定理。
• 粗いブロー・アップ手順を用いて、ブロー・アップ極限を解析し、特に平均曲率および二つのグラフの半差分に対して線形 PDE 評価を得る。
• 分区の単位および切り取り関数を用いて、分布的微分を厳密に制御し、特異集合を越えて PDE 構造が保たれることを保証する。
• 一様な質量および平均曲率の有界性のもとで、バーリューフォルム収束の議論によりコンパクト性を確立し、正則性結果を用いて収束する部分列を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 codimension-1 積分的バーリューフォルムの正則部に $L^p$ 一階変分（$p > n$）が存在する場合、特異集合が小さい領域を除き支持集合の $C^2$ 正則性が得られるための最小限の構造的仮定は何か？
• RQ2 a priori に $C^2$ 正則性や特異集合の小ささを仮定しない状況下で、安定 CMC 超曲面の正則性およびコンパクト性理論を積分的バーリューフォルムの設定に拡張できるか？
• RQ3 このようなバーリューフォルムにおける特異点の正確な性質は何か？ そして、最小超曲面の古典的特異点を超えて分類可能か？
• RQ4 実際の応用において、これらの構造的条件をどのように検証できるか？ また、それらは正則性結論に対して必要かつ十分であるか？
• RQ5 a priori 正則性を仮定しない状況で、局所的な質量および平均曲率の有界性のもとで、このようなバーリューフォルムの族に対するコンパクト性定理を確立できるか？

主な発見

• バーリューフォルムの支持集合は、Hausdorff コディメンジョンが 7 以上の閉集合を除き $C^2$ 定常平均曲率超曲面である。
• 可能な特異点は、局所的に二つの $C^2$ 埋め込み CMC ディスクが接する二重接触特異点に限られる。
• 正則部に課された二つの構造的条件は、$C^2$ 正則性結果に対して必要かつ十分であり、$C^1$-埋め込み部分の幾何的性質に基づいて定式化されている。
• 本論文は、コンパクト性定理を証明する：一様な質量および平均曲率の有界性を満たすこのようなバーリューフォルムの族は、バーリューフォルム位相において precompact である。
• 結果は、Wicreskera（2014）による最小超曲面の正則性理論および Schoen–Simon（1981）による CMC 理論を一般化し、特異集合の a priori の小ささの仮定を不要にする。
• 局所的に有界な境界を持つ集合に対するコロナリーが得られ、Gonzalez–Massari–Tamanini の正則性理論を体積制約付き境界最小化問題の状況に拡張する。