[論文レビュー] Stable cohomology of the mapping class group with symplectic coefficients and of the universal Abel-Jacobi map

Eduard Looijenga|ArXiv.org|Jan 24, 1994

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 55

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック係数を備えた写像類群の安定有理コホモロジーを決定し、それが無限型写像類群の安定コホモロジーと、変数 $ c_i $（次数 $ 2i $）をもつ多項式代数上の有限生成モジュールのテンソル積に分解されることを示している。さらに、リーマン面の標識付きモジュライ空間の安定コホモロジーと、普遍アーベル・ヤコビ写像を明示的に計算し、対称関数と集合の分割を通じてモジュール構造を記述している。

ABSTRACT

This replacement corrects statement and proof of the main result. Also, a section on the universal Abel-Jacobi map has been added.

研究の動機と目的

• 写像類群 $ \Gamma_g $ の、分割 $ \lambda $ でインデックス付けられた不可約シンプレクティック表現を係数とする安定有理コホモロジーを決定すること。
• 安定コホモロジーを $ \mathbb{Q}[c_1,\dots,c_{|\lambda|}] $ 上のモジュールとしての構造を記述すること、ここで $ \deg(c_i) = 2i $ である。
• $ s $ 個の順序付きまたは無順序の異なる標識付きのコンパクトリーマン面のモジュライ空間の安定コホモロジーを計算すること。
• モジュライ空間からピカール多様体への普遍アーベル・ヤコビ写像のコホモロジーへの誘導写像を決定すること。
• 特に対称関数と分割代数の文脈において、混合ホッジ構造を安定コホモロジーの記述に組み込むこと。

提案手法

• ハラーの安定性定理とイワノフの安定コホモロジーに関する結果を用いて、$ g $ が十分に大きいときの $ g $ に依存しない性質を確立する。
• $ s = |\lambda| $ として、$ \mathbb{Q}[c_1,\dots,c_s] $-代数としての次数付きモジュール $ B^\bullet_\lambda $ を構成し、安定コホモロジーをモデル化する。
• $ s $ 個の変数 $ u_1,\dots,u_s $ における対称関数による $ B^\bullet_\lambda $ の同定、次数は重み 2 で付加される。
• $ \{1,\dots,s\} $ の集合分割 $ P $ に関連する対角部分多様体 $ \Delta_P $ を用い、余次元と部分のサイズに基づく次数を導入する。
• 有限集合 $ X $ 上に定義された単項式代数 $ A^\bullet_X $ を構成し、対称群 $ \mathfrak{S}_X $ の作用を導入し、不変部分代数 $ (A^\bullet_X)^{\mathfrak{S}_X} $ に移行する。
• $ C^\bullet_s $ の直和極限としての極限代数 $ C^\bullet_\infty $ を構成し、$ c_1 $ を除いた部分代数 $ C^{\prime\bullet}_\infty $ を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像類群のシンプレクティック係数を備えた安定有理コホモロジーは、多項式代数上のモジュールとしてどのように分解されるか？
• RQ2 $ s $ 個の標識付きリーマン面のモジュライ空間の安定コホモロジー（順序付きおよび無順序）の構造は何か？
• RQ3 普遍アーベル・ヤコビ写像はコホモロジーにどのように誘導され、安定次数におけるこの写像の像は何か？
• RQ4 モジュライ空間上のピカール多様体の安定コホモロジーは、対称関数と分割代数の観点から記述可能か？
• RQ5 混合ホッジ構造は、これらのモジュライ空間およびそれらの写像の安定コホモロジーにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• 次数 $ \leq N(g) - |\lambda| $ において、安定コホモロジー $ H^\bullet(\Gamma_g; S_{\langle\lambda\rangle}(V_g)) $ は、$ H^\bullet(\Gamma_\infty; \mathbb{Q}) \otimes B^\bullet_\lambda $ に同型であり、ここで $ B^\bullet_\lambda $ は $ \mathbb{Q}[c_1,\dots,c_{|\lambda|}] $ 上の有限生成次数付きモジュールである。
• $ B^\bullet_\lambda $ は、重み 2 で次数づけられた変数 $ u_i $ 上の対称代数の商として明示的に記述され、集合分割 $ P $ に関連する対角部分多様体 $ \Delta_P $ からの関係式を含む。
• 無順序 $ s $ 個の標識付きのモジュライ空間 $ \mathcal{M}_g^{(s)} $ の安定コホモロジーは、次数 $ \leq \min(2s, N(g)) $ において $ H^\bullet(\Gamma_\infty; \mathbb{Q}) \otimes C^\bullet_\infty $ に同型である。
• 普遍アーベル・ヤコビ写像 $ \operatorname{Pic}^s(\mathcal{C}_g/\mathcal{M}_g) $ の安定コホモロジーは、次数 $ \leq \min(s, N(g)) $ において $ H^\bullet(\Gamma_\infty; \mathbb{Q}) \otimes C^{\prime\bullet}_\infty $ に同型である。
• $ (\mathcal{C}_g^s)^{\mathfrak{S}_s} $ のコホモロジーにおける $ c_1 \otimes 1 \otimes \cdots $ の像は、マクドナルドの定理におけるクラス $ y $ に対応し、既知の結果と整合することが確認された。
• $ C^{\prime\bullet}_\infty $ は、不変部分代数 $ (A^\bullet_X)^{\mathfrak{S}_X} $ の直和極限と同型であり、代数準同型の可換図式を通じてアーベル・ヤコビ写像と整合性を持つ。