[論文レビュー] Stable determination outside a cloaking region of two time-dependent coefficients in an hyperbolic equation from Dirichlet to Neumann map

Mourad Bellassoued, Ben Aicha Ibtissem|arXiv (Cornell University)|May 11, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界上のDirichlet-to-Neumann写像から、双曲的波動方程式における時間に依存する2つの係数（散逸項とポテンシャル項）の同時回復に関する安定性評価を確立する。複素幾何学的オプティクス解と解析接続技術を用いて、クローキング領域を除く領域で安定な再構成を証明し、データが豊富である場合にはより大きな部分集合で改善された回復が可能である。次元 $ n \geq 2 $ において係数が $ C^2 $ および $ C^1 $ で滑らかであるという仮定の下で成立する。

ABSTRACT

In this paper, we treat the inverse problem of determining two time-dependent coefficients appearing in a dissipative wave equation, from measured Neumann boundary observations. We establish in dimension $n\geq 2$, stability estimates with respect to the Dirichlet-to-Neumann map of these coefficients provided that are known outside a cloaking regions. Moreover, we prove that it can be stably recovered in larger subsets of the domain by enlarging the set of data

研究の動機と目的

• 時間に依存する2つの係数を、境界測定値から特定する逆問題に取り組む。
• 領域の因果的依存関係の制約により、一意的な回復が不可能なクローキング領域を除く領域における係数の安定性評価を確立する。
• 境界データの集合を拡大することで、空間領域のより大きな部分集合で係数の安定的回復が可能になることを示す。
• 時間に依存しない係数に関する既存の結果を、時間に依存する場合に拡張するため、高度な解析的技術を用いる。
• 次元 $ n \geq 2 $ において、$ a(x,t) $ および $ b(x,t) $ の回復に関する対数型安定性評価を、Dirichlet-to-Neumann写像から得る。

提案手法

• 領域内での挙動を制御できる特殊な解を得るために、複素幾何学的オプティクス解を用いる。
• 時間と空間に依存する重み関数を用いたCarleman推移不等式を適用し、安定性不等式を導出する。
• 解析接続と三円定理（Hadamardの定理）を用いて、小さな区間からの境界を大きな領域へと伝播させる。
• 正則関数論と補間不等式（例：補題A.1およびA.2）を用いて、区間上での正則関数の上界ノルムを制御する。
• 重なり合う球を用いた被覆論法により、複素平面における区間 $[-1,1]$ 全体への局所的推移を拡張する。
• Dirichlet-to-Neumann写像の構造に依存して、境界測定値と内部係数情報との関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 散逸的波動方程式における2つの時間に依存する係数は、Dirichlet-to-Neumann写像から安定に回復可能か？
• RQ2 境界データが与えられたもとで、時間空間領域における $ a(x,t) $ および $ b(x,t) $ の安定的回復が可能な最大領域は何か？
• RQ3 境界データの集合を豊富にすることにより、係数の安定的回復が可能な領域の大きさはどのように変化するか？
• RQ4 クローキング領域（$ \Omega $ からの後向き光円錐）は、係数の同定可能性を制限する上で果たす役割は何か？
• RQ5 時間に依存する係数について、時間不変の場合の既存結果を拡張して、双曲的設定において対数型安定性評価を確立できるか？

主な発見

• クローキング領域（$ \Omega $ からの後向き光円錐）を除く領域において、$ a(x,t) $ および $ b(x,t) $ の回復に関する対数型安定性評価が確立された。
• 境界データの集合が拡大されると、領域内のより大きな部分集合で係数が安定に回復可能である。
• 証明は、複素幾何学的オプティクス解の構成と、小さなデータセットからの境界をより大きな領域へと伝播させる解析接続に依存する。
• 主要な技術的結果として、Hadamardの三円定理を用いて、区間上での局所的 $ L^\infty $-ノルム推移を、$[-1,1]$ 全体へのグローバル推移に拡張した。
• 安定性評価として、$ \|\varphi\|_{L^\infty([-1,1])} \leq N \|\varphi\|_{L^\infty(I)}^\gamma M^{1-\gamma} $ の形の不等式が得られ、$ \gamma \in (0,1) $ であり、対数的安定性を保証する。
• この結果は、$ a(x,t) $ について $ C^2 $、$ b(x,t) $ について $ C^1 $ の正則性、および次元 $ n \geq 2 $、滑らかな境界 $ \Gamma $ の下で成立する。