[論文レビュー] Stable exponential cosmological solutions with $3$- and $l$-dimensional factor spaces in the Einstein-Gauss-Bonnet model with a $\Lambda$-term

В. Д. Иващук, A. A. Kobtsev|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2017

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、宇宙定数 Λ を有する D 次元のアインシュタイン＝ガウス＝ボンネット重力モデルを検討し、3次元および l 次元の因子空間に対応する2つのスケール因子の指数的時間発展を示す対角的宇宙論的計量に注目する（D = 1 + 3 + l）。h/H = x、l、および α = α₂/α₁ に依存する微調整された Λ に対して、安定な解が得られ、Λ(x, l, α) を記述する3次または4次多項方程式が導かれる。また、有効重力定数 G の変動が小さい解について安定性が証明されている。

ABSTRACT

A $D$-dimensional gravitational model with a Gauss-Bonnet term and the cosmological term $\Lambda$ is studied. We assume the metrics to be diagonal cosmological ones. For certain fine-tuned $\Lambda $, we find a class of solutions with exponential time dependence of two scale factors, governed by two Hubble-like parameters $H >0$ and $h$, corresponding to factor spaces of dimensions $3$ and $l > 2$, respectively and $D = 1 + 3 + l$. The fine-tuned $\Lambda = \Lambda (x, l, \alpha)$ depends upon the ratio $h/H = x$, $l$ and the ratio $\alpha = \alpha_2/\alpha_1$ of two constants ($\alpha_2$ and $\alpha_1$) of the model. For fixed $\Lambda, \alpha$ and $l > 2$ the equation $\Lambda(x,l,\alpha) = \Lambda$ is equivalent to a polynomial equation of either fourth or third order and may be solved in radicals (the example $l =3$ is presented). For certain restrictions on $x$ we prove the stability of the solutions in a class of cosmological solutions with diagonal metrics. A subclass of solutions with small enough variation of the effective gravitational constant $G$ is considered. It is shown that all solutions from this subclass are stable.

研究の動機と目的

• D 次元のアインシュタイン＝ガウス＝ボンネットモデルに宇宙定数項 Λ を含む場合の安定な宇宙論的解を調査すること。
• 3次元および l 次元の空間的因子空間に対応する2つのスケール因子の指数的時間依存性を有する解を分析すること。
• 有効重力定数 G の変動を考慮した場合に、このような解が安定となる条件を特定すること。
• 宇宙定数項 Λ を比 x = h/H、次元 l、および結合定数比 α = α₂/α₁ の関数として明示的に導出すること。
• 有効重力定数 G の変動が小さい解が、対角計量宇宙論的解のクラスにおいて安定であることを確立すること。

提案手法

• D 次元の重力作用にガウス＝ボンネット項と宇宙定数項 Λ を含め、D = 1 + 3 + l とする。
• 対角的宇宙論的計量を仮定し、3次元および l 次元の因子空間に対応する2つのハッブル的パラメータ H と h を導入する。
• スケール因子の指数的時間発展を仮定することで、場の運動方程式が代数的制約に還元される。
• 宇宙定数項 Λ は、x = h/H、l、α = α₂/α₁ の関数として微調整され、3次または4次多項方程式が得られる。
• 安定性は対角計量宇宙論的解のクラスにおいて分析され、特に有効重力定数 G の変動が最小限に抑えられた解に注目する。
• l = 3 の場合の多項方程式の明示的解法が含まれており、根号を用いた解法が可能であることが示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン＝ガウス＝ボンネットモデルに宇宙定数項 Λ を含む場合、3次元および l 次元の因子空間に対応する2つのスケール因子の指数的宇宙論的解が安定に成立する条件は何か？
• RQ2 宇宙定数項 Λ は比 x = h/H、次元 l、および結合定数比 α = α₂/α₁ にどのように依存するか？
• RQ3 関係式 Λ(x, l, α) = Λ を記述する多項方程式の次数は何か？特定の l に対して根号を用いて解けるか？
• RQ4 どの x の値に対して導出された解が対角計量宇宙論的解のクラスにおいて安定か？
• RQ5 有効重力定数 G の変動が小さい解は安定か？この条件がモデルパラメータに課す制約は何か？

主な発見

• 宇宙定数項 Λ は、x = h/H、l、α = α₂/α₁ の関数として明示的に微調整され、3次または4次多項方程式を形成する。
• l = 3 の場合、Λ(x, l, α) を記述する方程式が根号を用いて明示的に解かれることが示され、解析的扱いが可能であることが確認された。
• x = h/H の特定の範囲において、対角計量宇宙論的解のクラスにおいて解が安定であることが証明された。
• 有効重力定数 G の変動が小さい解の部分クラスが特定され、そのすべての解が安定であることが示された。
• 安定性条件は特定のパrameter範囲で満たされ、特に G の変動を最小限に抑えた場合に成立する。これは、解の物理的妥当性を示している。