[論文レビュー] Stable isomorphism and strong Morita equivalence of operator algebras

George Eleftherakis|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、三重作用素環（TRO）を用いた、作用素代数のモリタ型同値関係である強Δ同値性を導入し、可算近似単位を持つ二つの作用素代数が、強安定同型であるための必要十分条件として、それらが強Δ同値であることであることを証明している。主な貢献は、コンパクト作用素との空間的テンソル積を介して、強Δ同値性と安定同型の間の明確な関係を確立したことである。これはC*-代数理論の結果を非自己共役作用素代数へと一般化するものである。

ABSTRACT

We introduce a Morita type equivalence: two operator algebras $A$ and $B$ are called strongly $Δ$-equivalent if they have completely isometric representations $α$ and $β$ respectively and there exists a ternary ring of operators $M$ such that $α(A)$ (resp. $β(B)$) is equal to the norm closure of the linear span of the set $M^*β(B)M, $ (resp. $Mα(A)M^*$). We study the properties of this equivalence. We prove that if two operator algebras $A$ and $B,$ possessing countable approximate identities, are strongly $Δ$-equivalent, then the operator algebras $A\otimes \cl K$ and $B\otimes \cl K$ are isomorphic. Here $\cl K$ is the set of compact operators on an infinite dimensional separable Hilbert space and $\otimes $ is the spatial tensor product. Conversely, if $A\otimes \cl K$ and $B\otimes \cl K$ are isomorphic and $A, B$ possess contractive approximate identities then $A$ and $B$ are strongly $Δ$-equivalent.

研究の動機と目的

• 非自己共役作用素代数に対して、TROを用いて新しいモリタ型同値関係—強Δ同値性—を定義すること。
• 作用素代数の文脈において、強Δ同値性と強安定同型との明確な関係を確立すること。
• TROに基づく同値性を用いて、ブラウン＝グリーン＝リエフェルのC*-代数に関する結果を非自己共役作用素代数へと一般化すること。
• 強Δ同値性と既存の概念（BMP強モリタ同値性など）との関係を明確にすること。
• 強Δ同値性がBMP強モリタ同値性よりも厳密に強いことを示し、反例を提示すること。

提案手法

• 完全等長表現とTROを用いて強Δ同値性を定義し、各代数がTROによって生成される双線形包のノルム閉包として現れることを要請する。
• コンパクト作用素の代数𝒦との空間的テンソル積を用いて、強安定同型を定義する。
• 三重作用素環（TRO）の理論を応用し、必要な同型を生成する同値な双モジュールを構成する。
• TRO内の有限ランク作用素のネットを用いて、単位元の近似とノルム閉包の性質を証明する。
• ネスト代数とその二重双対の構造を用いて、明示的な例を構成し、同値条件を検証する。
• 作用素空間論および双作用素代数論の結果を応用し、弱*位相およびノルム閉包の技法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算近似単位を持つ作用素代数について、強Δ同値性が強安定同型と同値となる条件は何か？
• RQ2 強Δ同値性は、既存のモリタ同値の概念（特にBMP強モリタ同値性）とどのように関係しているか？
• RQ3 強Δ同倀性を用いて、コンパクト作用素とのテンソル積を介して作用素代数の安定同型による分類が可能か？
• RQ4 強Δ同値性はBMP強モリタ同値性よりも厳密に強いか？ もしそうならば、反例を構成できるか？
• RQ5 TROは、非自己共役作用素代数間の安定同型を生成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 可算近似単位を持つ二つの作用素代数は、強安定同型であるための必要十分条件として、それらが強Δ同値であることである。
• 強Δ同値性は強安定同型を意味する。これは、A⊗𝒦とB⊗𝒦が作用素空間として同型であることを意味する。
• 逆に、A⊗𝒦とB⊗𝒦が同型であり、AとBが収縮的近似単位を持つならば、AとBは強Δ同値である。
• 強Δ同値性は、ブレーチャー、ミューリー、ポールセンによる反例によって示されるように、BMP強モリタ同値性よりも厳密に強い。
• ネスト代数に関しては、そのコンパクト部分代数の強安定同型は、それらの二重可換束の間の*-同型が一つのネストを他方のネストに写すことに同値である。
• TROの理論は、非自己共役作用素代数における安定同型の構成および同値性の証明のための強固な枠組みを提供する。