[論文レビュー] Stable limits for sums of dependent infinite variance random variables

Katarzyna Bartkiewicz, Adam Jakubowski+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2009

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 41被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、厳密に定 station な従属系列のアフィン変換された部分和が無限分散安定分布に収束する明示的な条件を確立する。安定分布のパラメータを元の過程の尾部特性に直接結びつけることで、従来の定性的な極限定理とは対照的に定量的な代替手法を提供し、GARCH(1,1)、確率的ボラティリティ、確率的再帰モデルへの応用を含む。

ABSTRACT

The aim of this paper is to provide conditions which ensure that the affinely transformed partial sums of a strictly stationary process converge in distribution to an infinite variance stable distribution. Conditions for this convergence to hold are known in the literature. However, most of these results are qualitative in the sense that the parameters of the limit distribution are expressed in terms of some limiting point process. In this paper we will be able to determine the parameters of the limiting stable distribution in terms of some tail characteristics of the underlying stationary sequence. We will apply our results to some standard time series models, including the GARCH(1, 1) process and its squares, the stochastic volatility models and solutions to stochastic recurrence equations.

研究の動機と目的

• 従属的かつ定 station な過程におけるアフィン変換された部分和が無限分散安定分布に収束することを保証する条件を開発すること。
• 点過程に基づく定性的な極限定理の特徴付けを、安定分布パラメータの明示的表現に置き換えること。
• 極限安定分布のパラメータを、定 station な系列の測定可能な尾部特性の用語で表現すること。
• 標準的な時系列モデル、特にGARCH(1,1)、その二乗、確率的ボラティリティ、および確率的再帰方程式への理論的枠組みの応用。

提案手法

• 厳密に定 station な系列の部分和が無限分散を持つ安定分布に収束する十分条件を導出すること。
• 特に正則変動性質を通じて、元の過程の尾部行動を用いて安定指数および歪度パラメータを特徴付けること。
• 極値行動と極限安定分布を結びつけるために、点過程収束技術を用いること。
• 正則変動理論と従属構造を活用して、正規化定数および安定パラメータを明示的に表現すること。
• 定 station な系列の尾指数および尾測度を分析し、極限安定分布のパラメータを特定すること。
• GARCH(1,1) や確率的再帰方程式におけるような、尾および従属条件を満たす特定のモデルに枠組みを適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密に定 station で従属的な系列のアフィン変換された部分和が、いつ無限分散安定分布に収束するか？
• RQ2 極限安定分布のパラメータは、元の過程の尾部特性を用いてどのように明示的に表現できるか？
• RQ3 このパrameter化は、GARCH(1,1) や確率的ボラティリティのような標準的時系列モデルにどのような意味を持つのか？
• RQ4 歪度が無限分散を持つ周辺分布の場合、従属構造は安定分布への収束にどのように影響するか？

主な発見

• 極限安定分布の安定指数および歪度は、定 station な系列の尾指数および尾測度によって明示的に決定される。
• 部分和の正規化定数は尾部行動に関連しており、収束の非漸近的特徴付けを可能にする。
• GARCH(1,1)過程およびその二乗に対しては、適切な尾および従属仮定のもとで、安定分布への収束条件が満たされる。
• 確率的ボラティリティモデルに対しても、必要な条件が満たされ、極限安定分布が尾部特性によって特徴付けられる。
• ノイズ分布の尾が正則変動的尾を持つ場合、および系が定 station である限り、確率的再帰方程式の解は同様の収束行動を示す。