[論文レビュー] Stable manifolds of two-dimensional biholomorphisms asymptotic to formal curves

Lorena López‐Hernanz, Jasmin Raissy+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2次元の正則自己同型写像が単位写像に接するか中立的力学を持つ場合、不変形式的曲線に沿って安定多様体が有限個存在することを確立する。これらの安定多様体は、曲線に漸近するすべての軌道を捉え、線形部に関する仮定を曲線上の力学に限る限り、1次元力学の古典的結果を2次元設定に一般化する。

ABSTRACT

Let $F\in\mathrm{Diff}(\mathbb{C}^2,0)$ be a germ of a holomorphic diffeomorphism and let $\Gamma$ be an invariant formal curve of $F$. Assume that the restricted diffeomorphism $F|_{\Gamma}$ is either hyperbolic attracting or rationally neutral non-periodic (these are the conditions that the diffeomorphism $F|_{\Gamma}$ should satisfy, if $\Gamma$ were convergent, in order to have orbits converging to the origin). Then we prove that $F$ has finitely many stable manifolds, either open domains or parabolic curves, consisting of and containing all converging orbits asymptotic to $\Gamma$. Our results generalize to the case where $\Gamma$ is a formal periodic curve of $F$.

研究の動機と目的

• 2次元正則力学における不変形式的曲線に漸近する軌道の構造を特定すること。
• C²における収束する不変曲線から形式的不変曲線への古典的安定多様体理論の拡張。
• F|Γ における力学的条件（双曲的吸引的または有理的中立的非周期的）が、漸近する軌道をすべて捉える有限個の安定多様体の存在を保証することの十分性を示すこと。
• 単位写像に接する場合や半双曲的ケースの結果を、一般の形式的周期的曲線へ一般化すること。
• 与えられた不変形式的曲線に漸近するすべての軌道を捉える安定多様体の基本的基底を確立すること。曲線が発散的であっても成立する。

提案手法

• C²上での形式的および解析的力学の応用。特に、F を不変形式的曲線 Γ に制限した場合に注目。
• F の反復と F^m への上げ上げを用いて、問題を既約不変曲線のケースに還元。
• 特異点の解消のためのブロー・アップ技術の適用により、(F, Γ) を簡約形 (eF, eΓ) に還元。
• 変換後の写像 eF の無限小主部を分析し、吸引的およびサドル的方向を特定。
• ブロー・アップ後の原点近傍において、反復的プルバックとコンパクトネスの議論により安定多様体を構成。
• Leau-Fatouの花定理の類似性を用いて、吸引的方向を特定し、安定多様体の次元による分類を実施。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元正則自己同型写像 F ∈ Diff(C², 0) が、不変形式的曲線 Γ に漸近する軌道からなる安定多様体を持つための条件は何か？
• RQ2 線形部 DF(0) に関する仮定を一切設けず、F|Γ における力学的挙動のみで、このような安定多様体の存在を保証できるか？
• RQ3 形式的周期的曲線に漸近するすべての軌道の集合の構造は何か？ そして、有限個の安定多様体によってどのように捉えられるか？
• RQ4 安定多様体の次元（1次元または2次元）は、F|Γ の力学および DF(0) の固有値のスペクトルとどのように関係するか？
• RQ5 倍数が1で非周期的である場合、少なくとも1つの1次元安定多様体の存在を保証できるか？

主な発見

• 任意のゲルム F ∈ Diff(C², 0) および、周期的既約曲線 Γ₀ に付随する F-不変形式的曲線 Γ に対して、F^m|Γ₀ が吸引的または有理的中立的非周期的であるとき、原点近傍に有限個の安定多様体が存在し、それらは Γ に漸近するすべての軌道を捉える。
• 安定多様体は互いに交わらない。連結で、単連結であり、正の純粋次元を有し、有限個の連結成分を持つ。
• 1次元安定多様体は Γ に漸近する。2次元のものは、Γ に漸近するように選べる。
• DF(0) のスペクトルが {1, μ} で |μ| ≥ 1 であるとき、少なくとも ⌈r/4⌉ 個の安定多様体が1次元である。ここで r は F|Γ の位数である。
• スペクトル条件が成り立つ場合、1次元安定多様体の数は r/4 以上で下から抑えられ、無限小主部の先頭係数の偏角に依存する特定の状況で等号が成立する。
• この構成はブロー・アップに対して安定であり、還元モデル (eF, eΓ) における吸引的方向の存在に依存する。これらは力学的にサドル的方向に対応する。