[論文レビュー] Stable maps and branch divisors

Barbara Fantechi, Rahul Pandharipande|ArXiv.org|May 18, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、導来代数幾何および仮想局在化を用いて、安定写像のモジュライ空間から標的曲線の対称積への分岐被覆写像の安定化拡張を構成する。Gromov-Witten理論を用いてホッジ積分の公式を導出し、古典的な ELSV 公式を回復するとともに、ホッジの genus-zero 公式の幾何的導出を提供する。

ABSTRACT

We construct a natural branch divisor for equidimensional projective morphisms where the domain has lci singularities and the target is nonsingular. The method involves generalizing a divisor contruction of Mumford from sheaves to complexes. The construction is valid in flat families. The generalized branch divisor of a stable map to a nonsingular curve X yields a canonical morphism from the space of stable maps to a symmetric product of X. This branch morphism (together with virtual localization) is used to compute the Hurwitz numbers of covers of P^1 for all genera and degrees in terms of Hodge integrals.

研究の動機と目的

• 滑らかな曲線からの古典的分岐被覆写像の拡張を、安定写像のコンパクト化モジュライ空間へ行う。
• LCI および滑らかさの条件を満たすスキームの射 f:X→Y に対して相対的分岐被覆写像を定義する。
• P^1 への安定写像のモジュライスタック上の普遍族に分岐被覆写像の構成を適用する。
• Gromov-Witten理論および仮想局在化を用いてホッジ数を計算する。
• 仮想局在化から得られるホッジ積分表現を用いて、ホッジ数の式を導出する。

提案手法

• LCI、滑らかさ、および非特異ファイバーの条件を満たす射 f:X→Y に対して、Y 上のS 上の相対的カルティエ被覆写像 br(f) を関手的に構成する。
• Mumford の複体に対する一般化を用いて、複体 Rf_*[f^*ω_{Y/S} → ω_{X/S}] の導来押し出しを用いて分岐被覆写像を定義する。
• 普遍族 F:C→D×M̄_g(D,d) にこの構成を適用し、br(F) が次数 r の相対的カルティエ被覆写像であることを示す。
• M̄_g(D,d) → Sym^r(D) という写像 γ を定義し、古典的分岐被覆写像写像を拡張する。
• P^1 への安定写像のモジュライ空間における仮想局在化を用いて、Gromov-Witten 不変量 ∫[M̄_g(P^1,d)]^{vir} γ^*(ξ^{2g-2+2d}) を評価する。
• 局在化和における固定点集合からの寄与を計算し、br(f) が一点にのみ台を持つグラフに注目することで、唯一の非ゼロ寄与項が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな曲線上の古典的分岐被覆写像写像を、安定写像のコンパクト化モジュライ空間へどのように拡張できるか？
• RQ2 因子が可約または非可約なファイバーを含む族における分岐被覆写像のスキーム的構造は何か？
• RQ3 拡張された分岐被覆写像写像を用いて、Gromov-Witten理論によりホッジ数を計算できるか？
• RQ4 仮想局在化から得られるホッジ積分表現は、ホッジ数に対してどのように明示的に表れるか？
• RQ5 仮想局在化の公式は、ホッジ数の ELSV 公式をどのように回復するか？

主な発見

• 分岐被覆写像 br(f) は、Y が滑らかで、ファイバーが非特異である LCI 射 f:X→Y に対して、S 上の相対的カルティエ被覆写像として構成される。
• 写像 γ: M̄_g(D,d) → Sym^r(D) は古典的分岐被覆写像写像を拡張し、正規化成分およびノードからの寄与を含む境界上の点的公式を備える。
• ホッジ数 H_{g,d} は、H_{g,d} = (2g-2+2d)! / d! × ∫_{M̄_{g,d}} (1 - λ₁ + λ₂ - ⋯ + (-1)^g λ_g) / ∏_{i=1}^d (1 - ψ_i) で与えられ、(g,d) ≠ (0,1),(0,2) のとき成り立つ。
• genus 0 の場合、この式は H_{0,d} = (2d-2)! / d! × d^{d-3} に簡略化され、Hurwitz の古典的結果を回復する。
• 仮想局在化和における唯一の非ゼロ寄与は、1つの genus g 頂点が一点に、d 個の次数 1 の辺を持つ唯一のグラフ Γ₀ からの寄与である。
• 被覆写像 ∏_{i=1}^r γ^*(c_1(L_i)) は固定点集合上で純粋な重み r! の項に制限され、最終的なホッジ積分表現が得られる。