[論文レビュー] Stable maps and Hurwitz schemes in mixed characteristic

Dan Abramovich, Frans J. Oort|ArXiv.org|Aug 17, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、安定写像のモジュライ空間への埋め込みを通じて、混合特徴関数における新しいコンactifiedHurwitzスタックを導入する。混合特徴関数における安定写像の固有アーティンスタックの存在を確立し、特徴関数2の場合に二重被覆Hurwitzスタックが非分離的かつ非有限な準同型をもち、一般ファイバーが非既約的になることを示し、特徴関数0の場合とは著しく対照的である。

ABSTRACT

In this short note, we propose a definition of complete Hurwitz schemes (and stacks) in mixed characteristic. We follow an idea of R. Pandharipande, and define the complete Hurwitz stack as a substack of stable maps of degree d of nodal pointed curves of genus g to the universal curve over the moduli stack of stable pointed curves of genus h. This substack is simply the closure of the locus of Hurwitz covers in characteristic 0. We describe in detail the reduction modulo 2 of the complete Hurwitz stack of genus 1 double covers of the projective line. The result is wilder than you would imagine in your wildest dreams. We end by speculating about a possible relationship with the work of Abramovich-Vistoli about stable maps into Deligne-Mumford stacks.

研究の動機と目的

• 点付き有理曲線のモジュライ空間への安定写像を用いた、混合特徴関数におけるコンパクト化Hurwitzスキームの定義。
• 安定写像の理論を混合特徴関数の底schemeに拡張し、有限安定化を持つ固有アーティンスタックの存在を証明すること。
• 特に4個の分岐点を持つP^1への分岐被覆について、特徴関数2における二重被覆の挙動の分析。
• 正の特徴関数における有限準同型および既約性の失敗を、良好に振る舞う特徴関数0の場合と対比して説明すること。
• 群作用を用いたスタック的商構成を提案し、混合特徴関数において非平坦な商曲線Pの代わりに有限準同型を回復すること。

提案手法

• n点付き genus 0 曲線の普遍族への安定写像のモジュライ空間における閉包として、パrametrizationなしのHurwitzスタックを定義する。
• 底scheme S 上のP^r への安定写像のスタックを定義し、代数幾何的技法を用いてその存在および固有性を証明する。
• Hurwitz被覆を、n点付き曲線からn点付き有理曲線への安定写像として特定し、分岐点が分岐点へ写像されることを確認する。
• 対数的およびスタック的技法を用いて、正の特徴関数における退化および非有限準同型を扱う。
• 二重被覆族の2進数への還元を、j不変量およびλ不変量の分析を通じて行い、4つの異なる成分に分かれる。
• 底変換の性質を保つために、混合特徴関数における非平坦な商曲線Pの代わりに、C/⟨σ⟩としての商スタックを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐次数が残留特徴関数を超える場合に、既存の理論が失敗する混合特徴関数において、Hurwitzスキームをどのようにコンパクト化できるか？
• RQ2 特徴関数2ではコンパクト化Hurwitzスタックが非既約的になるのはなぜか、特徴関数0とはどのように異なるか？
• RQ3 特徴関数2における二重被覆の還元において、準同型の有限性および分離性はどのように変化するか？
• RQ4 通常の商が失敗する混合特徴関数において、安定写像構成が有限準同型を回復できるか？
• RQ5 j不変量およびλ不変量は、特徴関数2における特別ファイバーの成分構造にどのように影響するか？

主な発見

• 特徴関数2におけるコンパクト化Hurwitzスタックは4つの既約成分をもち、特徴関数0における既約構造とは対照的である。
• Mbar_{0,4} への写像が有限でない。1つの成分はj不変量0、任意のλをパラメータとするが、他の成分はλを0、1、または∞に固定している。
• すべての幾何的点が非有限準同型に対応し、特徴関数2ではすべての写像の有限部分が純粋に非分離的である。
• 成分の一般点は、C1およびC2がDの2つの成分へそれぞれ純粋に非分離的に写像される、非既約曲線Cに対応する。
• j=0およびλ=0の成分は、j不変量0の genus 1 成分が3つの他の有理成分に接続された安定極限に対応する。
• 商曲線P = C/⟨σ⟩は特徴関数2において底変換と可換でないが、スタック的商C/⟨σ⟩は安定的かつ底変換と可換な代替となる。