[論文レビュー] Stable maps to Looijenga pairs

Pierrick Bousseau, Andrea Brini+1 more|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Nov 17, 2020

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Looijenga対 (Y,D) に関連する5つの異なる数え上げ不変量—対数Gromov–Witten不変量、局所Gromov–Witten不変量、開Gromov–Witten不変量、BPS不変量、およびクーヴァーDonaldson–Thomas不変量—の間の網状の対応関係を確立し、正則性条件の下でそれらの同値性を証明するとともに、対称関数およびトポロジカルバーテックスを用いて、すべての不変量について完全な閉形式解を提供する。

ABSTRACT

A log Calabi-Yau surface with maximal boundary, or Looijenga pair, is a pair $(Y,D)$ with $Y$ a smooth rational projective complex surface and $D=D_1+\dots + D_l \in |-K_Y|$ an anticanonical singular nodal curve. Under some positivity conditions on the pair, we propose a series of correspondences relating five different classes of enumerative invariants attached to $(Y,D)$: 1) the log Gromov-Witten theory of the pair $(Y,D)$, 2) the Gromov-Witten theory of the total space of $\bigoplus_i \mathcal{O}_Y(-D_i)$, 3) the open Gromov-Witten theory of special Lagrangians in a Calabi-Yau 3-fold determined by $(Y,D)$, 4) the Donaldson-Thomas theory of a symmetric quiver specified by $(Y,D)$, and 5) a class of BPS invariants considered in different contexts by Klemm-Pandharipande, Ionel-Parker, and Labastida-Marino-Ooguri-Vafa. We furthermore provide a complete closed-form solution to the calculation of all these invariants.

研究の動機と目的

• Looijenga対 (Y,D) —境界が最大の対数Calabi–Yau表面のクラス—に関連する5つの異なる数え上げ不変量を統一すること。
• 対数Gromov–Witten不変量（(Y,D) 上）、局所Gromov–Witten不変量（⊕O_Y(−D_i) の全空間上）、および特別なラグラジアンをもつCalabi–Yau 3-fold 上の開Gromov–Witten不変量の間の明確な数学的対応関係を確立すること。
• これらの不変量を、Klemm–Pandharipande、Ionel–Parker、Labastida–Mariño–Ooguri–Vafa のBPS不変量および l=2 のときのクーヴァーDT不変量と結びつけること。
• 不変量に強い整数性制約が存在することを証明し、局所CY (l+2)-fold における genus-zero Gopakumar–Vafa 不変量の整数性を代数幾何的証明で示すこと。
• 対称関数およびトポロジカルバーテックス形式主義を用いて、すべての不変量について完全で明示的かつ再帰的でない閉形式解を提供すること。

提案手法

• Looijenga対 (Y,D) から4つの幾何的構成を生成する：対数Calabi–Yau表面、局所Calabi–Yau (l+2)-fold、l−1 個のラグラジアンサイクルをもつ非コンパクトCalabi–Yau 3-fold、および l=2 のときの対称クーヴァー。
• 対数-局所対応を用いて、(Y,D) 上の対数GW不変量と E_Y(D) = Tot(⊕O_Y(−D_i)) 上の局所GW不変量との関係を genus zero で確立する。
• 開-閉対応を適用し、Lagrangian 上の境界条件をもつCY3-fold 上の対数GW不変量と開GW不変量を等価にすること。
• トポロジカルバーテックス形式主義と対称関数の主スペシャルイゼーションを用いて、q-ファクターリアルおよび積分公式の形で不変量を計算する。
• Littlewood–Richardson則およびシフトされたシュール関数を用い、フック部分型のときのスケールシュール関数の閉形式表現を導出する。
• 変数変換を用いてBPS不変量の同値性を確立し、qにおける生成関数の構造を用いて整数性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Looijenga対 (Y,D) の対数Gromov–Witten不変量は、⊕O_Y(−D_i) の全空間上の局所Gromov–Witten不変量と、genus zero で一致するか？
• RQ2 l−1 個のラグラジアンサイクルをもつCalabi–Yau 3-fold 上の対数Gromov–Witten不変量と開Gromov–Witten不変量の間には対応関係があるか？
• RQ3 任意のLooijenga対について、局所BPS不変量（GV/KP/IP型）と開BPS不変量（LMOV型）のgenus-zero において同値であるか？
• RQ4 l=2 のとき、局所BPS不変量は (Y,D) に関連する対称クーヴァーのDonaldson–Thomas不変量と一致するか？
• RQ5 不変量は強い整数性制約を満たし、これにより局所CY (l+2)-fold におけるgenus-zero Gopakumar–Vafa不変量の整数性が証明可能か？

主な発見

• 対数Gromov–Witten不変量は、genus zero において E_Y(D) 上の局所GW不変量と同値であり、van Garrel–Graber–Ruddat の予想を確認する。
• すべての genus において、対数Gromov–Witten不変量は、l−1 個のラグラジアン境界成分をもつCY3-fold 上の開GW不変量と同値である。
• すべての l ≥ 2 に対して、genus-zero 局所BPS不変量（GV/KP/IP型）は、genus-zero 開BPS不変量（LMOV型）と同値である。
• l=2 のとき、局所BPS不変量は、Q(Y(D)) と関連する対称クーヴァーのDonaldson–Thomas不変量と同値であり、新しいクーヴァー対応を確立する。
• すべての不変量は強い整数性制約を満たし、局所CY (l+2)-fold におけるgenus-zero Gopakumar–Vafa不変量の整数性を代数幾何的証明で与える。これはCY4表面を含む。
• 対称関数およびトポロジカルバーテックスを用いて、すべての不変量について完全な閉形式解が得られ、フック部分型のときにはq-ファクターリアルおよび積恒等式の明示的公式が得られる。