[論文レビュー] Stable marriage problems with quantitative preferences

Maria Pini, Francesca Rossi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2010

Game Theory and Voting Systems参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、順序付けられた順位付けではなく数値スコアを割り当てる定量的好みを伴う安定結婚問題における、新たな安定性および最適性の概念を導入する。個人が数値スコアを割り当てることで、スコア差（α-安定性）とリンク強度（リンク加法的およびリンク最大化安定性）に基づく安定かつ最適なマッチングを求めるために、Gale-Shapleyアルゴリズムを適応させた。これらの解法は、古典的手法の変種を用いて効率的に計算可能であり、同点のない好みの下では一意の最適解が得られることを示している。

ABSTRACT

The stable marriage problem is a well-known problem of matching men to women so that no man and woman, who are not married to each other, both prefer each other. Such a problem has a wide variety of practical applications, ranging from matching resident doctors to hospitals, to matching students to schools or more generally to any two-sided market. In the classical stable marriage problem, both men and women express a strict preference order over the members of the other sex, in a qualitative way. Here we consider stable marriage problems with quantitative preferences: each man (resp., woman) provides a score for each woman (resp., man). Such problems are more expressive than the classical stable marriage problems. Moreover, in some real-life situations it is more natural to express scores (to model, for example, profits or costs) rather than a qualitative preference ordering. In this context, we define new notions of stability and optimality, and we provide algorithms to find marriages which are stable and/or optimal according to these notions. While expressivity greatly increases by adopting quantitative preferences, we show that in most cases the desired solutions can be found by adapting existing algorithms for the classical stable marriage problem.

研究の動機と目的

• 古典的な安定結婚問題が定性的な好み順序に依存しており、好みの強度を表現できないという限界を是正すること。
• 利益、コスト、または利得といった自然に定量的な好みが現れる現実世界のシナリオをモデル化すること。
• スコア差とペアのリンク強度を組み込むことで、新たな安定性および最適性の概念（α-安定性およびリンクベースの安定性）を定義すること。
• これらの新しい基準に基づく安定かつ最適なマッチングを効率的に計算するためのアルゴリズムを開発すること。
• 新しい安定性概念を古典的安定性と比較し、より表現力が高く異なる安定マッチングを生み出せることを示すこと。

提案手法

• 2人の潜在的パートナーに対するスコア差に基づく新しい安定性概念、α-安定性を提案。これは、両者が現在のパートナーよりもスコア差の閾値を超えて好むペアが存在しないことを保証する。
• リンク加法的安定およびリンク最大化安定の結婚を導入。安定性は、男性と女性のペア間のリンク強度（つまりスコア）に基づいて定義される。
• 部分順序を線形化するための投票ルールを用いたレキソ最適性を定義し、一意の最適な安定マッチングを選択する。
• Gale-Shapleyアルゴリズムを変換された好みプロファイルに適応させる：リンク加法的安定性のためのLinka(P)およびリンク最大化安定性のためのLinkm(P)。
• Linka(P)およびLinkm(P)における部分順序の線形化を用いて、Gale-Shapleyアルゴリズムを適用し、新しい安定基準下での男性最適安定マッチングを計算する。
• Linka(P)またはLinkm(P)に同点が存在しない場合、得られるマッチングは一意的であり、最大のリンク強度を持つことが証明されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 好みが厳密な順位付けではなく数値スコアとして表現される場合、安定結婚問題における安定性をどのように再定義できるか？
• RQ2 スコア差（α-安定性）をブロッキングペアの基準として用いる場合の意味は何か？また、古典的安定性とはどのように異なるか？
• RQ3 リンクベースの安定性概念（リンク加法的およびリンク最大化）は、古典的安定マッチングとは異なる安定マッチングを生み出せるか？
• RQ4 Gale-Shapleyアルゴリズムの適応を用いて、これらの新しい安定基準下で最適な安定マッチングを効率的に計算できるか？
• RQ5 新しいリンクベースの最適性基準下で、一意の最適な安定マッチングが存在する条件は何か？

主な発見

• α-安定性はスコア差に基づく閾値によるブロッキング条件を導入し、古典的安定性よりもより洗練された安定性定義を可能にする。
• リンク加法的安定およびリンク最大化安定の結婚は、パートナー間のリンク強度（スコア）に基づいて定義され、安定性を評価する新たな方法を提供する。
• 好みスコアがすべて異なる場合、最大のグローバルリンク強度を持つ一意のリンク最大化安定結婚が存在する。
• Gale-Shapleyアルゴリズムは、Linka(P)およびLinkm(P)の線形化に適用することで、リンク加法的安定およびリンク最大化安定マッチングを計算できるように適応可能である。
• Linka(P)またはLinkm(P)に同点が存在しない場合、適応されたGale-Shapleyアルゴリズムによって得られるマッチングは、安定であり、かつ最大のリンク強度を持つ。
• 新しいリンクベースのプロファイル下での男性最適マッチングは、古典的な男性最適安定結婚とは異なる場合があり、個々の好み順位よりもリンク強度を優先するためである。