[論文レビュー] Stable nearly self-similar blowup of the 2D Boussinesq and 3D Euler equations with smooth data II: Rigorous Numerics

Jiajie Chen, Thomas Y. Hou|arXiv (Cornell University)|May 9, 2023

Navier-Stokes equation solutions被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元Boussinesq方程式および3次元軸対称Euler方程式における滑らかな初期データのもとで、ほぼ自己相似な爆発プロファイルの安定性を、コンピュータ支援の厳密数値解析を用いて厳密に検証する。安定性定数が必要な不等式を満たすことを確認することで、第I部で確立された解析的枠組みのもとで、有限時刻における特異性形成の証明を完了し、長年の予想である、渦伸長が引き起こす爆発に関する仮説を裏付ける。

ABSTRACT

This is Part II of our paper in which we prove finite time blowup of the 2D Boussinesq and 3D axisymmetric Euler equations with smooth initial data of finite energy and boundary. In Part I of our paper [ChenHou2023a], we establish an analytic framework to prove stability of an approximate self-similar blowup profile by a combination of a weighted $L^\infty$ norm and a weighted $C^{1/2}$ norm. Under the assumption that the stability constants, which depend on the approximate steady state, satisfy certain inequalities stated in our stability lemma, we prove stable nearly self-similar blowup of the 2D Boussinesq and 3D Euler equations with smooth initial data and boundary. In Part II of our paper, we provide sharp stability estimates of the linearized operator by constructing space-time solutions with rigorous error control. We also obtain sharp estimates of the velocity in the regular case using computer assistance. These results enable us to verify that the stability constants obtained in Part I [ChenHou2023a] indeed satisfy the inequalities in our stability lemma. This completes the analysis of the finite time singularity of the axisymmetric Euler equations with smooth initial data and boundary.

研究の動機と目的

• 第I部で確立された解析的枠組みに従い、滑らかな初期データおよび境界条件をもつ2次元Boussinesq方程式および3次元軸対称Euler方程式における有限時刻爆発の証明を完了すること。
• 第I部の安定性補題における安定性定数が必要な不等式を満たすことを検証し、ほぼ自己相似な爆発プロファイルの安定性を確認すること。
• コンピュータ支援手法を用いて、正則な場合の線形化作用素および速度場に対して鋭い、厳密な推定値を提供すること。
• 空間時間解における厳密な誤差制御を確立することで、解析のギャップを埋め、安定性条件の数値的検証を可能にすること。

提案手法

• 区間演算および検証済み数値解析を用いて、誤差を制御した空間時間解を構築することで、線形化作用素の解を厳密に制御する。
• 重み付き$L^\infty$および$C^{1/2}$ノルムの枠組みを用いて、近似自己相似プロファイルまわりの摂動を分析する。
• 摂動を主成分と結合成分（$\widetilde{W}_1$ および $\widetilde{W}_2$）に分解し、主として一次作用素$\mathcal{L}_0$ に支配される主要なダイナミクスを分離する。
• 区分的な微分バウンドと補間推定値を用いて、離散グリッド上での解のホルダー型正則性を制御する。
• 線形補間およびコーシー・シュワルツ不等式を用いた、$|f(x) - f(z)| / |x - z|^{1/2}$ の境界を含む、コンピュータ支援証明による鋭い安定性推定値を検証する。
• 有限ランク摂動分解$\mathcal{L} = \mathcal{L}_0 + \mathcal{K}$ を用いて、支配的ダイナミクスと低次の補正項を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元Boussinesq方程式および3次元Euler方程式における、近似定常状態から導かれる安定性定数が、ほぼ自己相似な爆発の安定性に必要な不等式を満たすか。
• RQ2 非局所的渦伸長の存在下でも、線形化作用素の安定性推定値の鋭さを、厳密な数値的手法が検証可能か。
• RQ3 重み付き$L^\infty$および$C^{1/2}$ノルムにおける初期データの小さな摂動に対して、ほぼ自己相似な爆発プロファイルは安定か。
• RQ4 コンピュータ支援技術は、正則な場合の速度場および摂動ダイナミクスに対して、検証可能な誤差境界を提供可能か。
• RQ5 動的スケーリング形式化により、滑らかな初期データのもとで、有限時刻における特異性形成の完全な検証が可能か。

主な発見

• 第I部の安定性補題における安定性定数が、コンピュータ支援数値解析を用いて、必要な不等式を厳密に満たすことが確認された。
• 誤差境界を制御した空間時間解を用いて、線形化作用素に対する鋭い、検証済みの推定値が得られた。
• 正則な場合の速度場が、厳密な誤差制御を伴って推定され、爆発枠組みの整合性が確認された。
• 2次元Boussinesq方程式および3次元軸対称Euler方程式におけるほぼ自己相似な爆発プロファイルが、指定されたノルムにおける初期データの小さな摂動に対して安定であることが確認された。
• 滑らかな初期データおよび有限エネルギーをもつ2次元Boussinesq方程式および3次元軸対称Euler方程式における有限時刻特異性形成の証明が、解析的に完了した。
• Luo-Houの数値的証拠が裏付けられ、3次元Euler流れにおける渦伸長が引き起こす爆発の厳密な解析的基盤が確立された。