[論文レビュー] Stable pairs with descendents on local surfaces I: the vertical component

Martijn Kool, Richard Thomas|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかな正則除 canonical divisor $C$ を持つ表面 $S$ に対して、局所的 Calabi-Yau 3-fold $X = K_S$ 上の全安定ペア理論（降下項付き）を計算する。$\mathbb{C}^*$-局所化と余層局所化を用いて、$C$ の垂直的厚化（strict partitions によってインデックス付け）に帰着させ、曲線類 $[C]$ および $2[C]$ における不変量の生成関数に対して閉じた積公式を導出し、降下項-MNOP対応を通じて Maulik-Pandharipande の予想を検証する。

ABSTRACT

We study the full stable pair theory --- with descendents --- of the Calabi-Yau 3-fold $X=K_S$, where $S$ is a surface with a smooth canonical divisor $C$. By both $\mathbb C^*$-localisation and cosection localisation we reduce to stable pairs supported on thickenings of $C$ indexed by partitions. We show that only strict partitions contribute, and give a complete calculation for length-1 partitions. The result is a surprisingly simple closed product formula for these "vertical" thickenings. This gives all contributions for the curve classes $[C]$ and $2[C]$ (and those which are not an integer multiple of the canonical class). Here the result verifies, via the descendent-MNOP correspondence, a conjecture of Maulik-Pandharipande, as well as various results about the Gromov-Witten theory of $S$ and spin Hurwitz numbers.

研究の動機と目的

• 局所的 Calabi-Yau 3-fold $X = \mathrm{Tot}(K_S)$ 上の表面 $S$ に対して、滑らかな正則除 canonical divisor $C$ を持つ場合の全安定ペア理論（降下項付き）を計算すること。
• 安定ペア不変量の計算を、$K_S$ のファイバー上での $\mathbb{C}^*$-作用の固定点に帰着させ、特に $C$ の厚化に支持される成分に焦点を当てる。
• 曲線類 $d\cdot [\mathsf{k}]$ における不変量に寄与するのは、strict partitions（$\lambda_0 > \lambda_1 > \cdots > \lambda_{l-1} > 0$）に限ることを示すこと。
• 曲線類 $[C]$ および $2[C]$ における垂直的寄与の生成関数に対して、閉じた積公式を導出し、Maulik-Pandharipande の予想を検証すること。

提案手法

• $X = K_S$ 上の安定ペアのモジュライ空間に $\mathbb{C}^*$-等化局所化を適用し、$K_S$ のファイバー上での $\mathbb{C}^*$-作用の固定点に計算を帰着させる。
• 余層局所化を用いて、さらに計算を正則除 canonical divisor $C$ の厚化に支持される安定ペアに制限する。ここで、$\boldsymbol{\lambda} \vdash d$ と表される分割によってインデックス付けされる。
• 固定成分を、$I_C(-\lambda_1 S) + \cdots + I_C^l$ の形のイデアルによって定義されるサポートを持つものとして特徴付ける。ここで $I_C$ は $\pi^*C$ のイデアル層である。
• strict partitions（$\lambda_0 > \lambda_1 > \cdots > \lambda_{l-1} > 0$）のみが不変量に寄与することを示す。
• 垂直的正規バンドルと障害理論を、$C$ 上のネストドヒルベルトスキーム上のタウトロジカルクラスの言語で表現し、明示的な計算を可能にする。
• Pixton と Zagier が得た生成関数の恒等式を用いて積分を評価し、垂直的寄与の閉じた積公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X = K_S$ 上のどの曲線類が非自明な安定ペア不変量（降下項付き）を支持し、どのような条件下でそれらが消えるか？
• RQ2 安定ペア不変量を、正則除 canonical divisor $C$ の厚化に支持される成分に局所化するにはどうすればよいか？
• RQ3 曲線類 $[C]$ および $2[C]$ における、全安定ペア不変量に寄与する「垂直的」成分（$\pi^{-1}(C)$ に支持されるもの）の正確な寄与は何か？
• RQ4 降下項-MNOP対応を用いて、$X = K_S$ 上の安定ペア計算を通じて、$S$ の Gromov-Witten 不変量に関する Maulik-Pandharipande の予想を検証できるか？
• RQ5 垂直的安定ペア不変量（降下項付き）の生成関数の明示的閉形式は何か？

主な発見

• 曲線類 $d\cdot [\mathsf{k}]$ における安定ペア不変量に寄与するのは、$|\boldsymbol{\lambda}| = d$ を満たす strict partitions $\boldsymbol{\lambda} = (\lambda_0 > \cdots > \lambda_{l-1} > 0)$ のみであり、非 strict 分割は消える。
• 長さ 1 の分割 $\boldsymbol{\lambda} = (d)$ の場合、生成関数への垂直的寄与は、等化パラメータ $t$ と曲線類 $d\cdot [\mathsf{k}]$ の三角関数および有理関数を含む閉じた積公式で与えられる。
• 曲線類 $d\cdot [\mathsf{k}]$ における垂直的不変量の生成関数は、形式的変数 $v_j$ の積として表され、$\sin(n\,du/2)$ と Pochhammer-型分母を含む。
• 生成関数の先頭項は、$S$ の曲線類 $d\cdot [\mathsf{k}]$ における Gromov-Witten 不変量と一致し、これらのケースにおける降下項-MNOP対応を確認する。
• 本結果により、$X = K_S$ 上の垂直的安定ペア不変量を通じて、$S$ の Gromov-Witten 理論に関する Maulik-Pandharipande の予想が検証され、特に $d=1$ および $d=2$ の場合に成立する。
• 積分を評価するために Pixton と Zagier が得た重要な恒等式が用いられ、$\sin(nx)/\sin^n x$ を含む生成関数の展開における先頭係数 $A_\alpha = \frac{1}{(2\alpha-1)!!}$ が現れる。