[論文レビュー] Stable Phase Retrieval from Locally Stable and Conditionally Connected Measurements

Cheng Cheng, Ingrid Daubechies+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2020

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限次元および無限次元のバナッハ空間における位相再構成のための、局所安定かつ条件付き接続性を持つ（LSCC）測定フレームワークを導入する。このフレームワークは、実数のチーヘル定数（Cheeger constant）と複素数の代数的連結度（algebraic connectivity）を介して、信号の安定性とグラフの接続性を結びつける。信号に大きな空洞がない場合、安定性定数は次元に対して多項式的にのみ増加する——実数空間では d^{1/2}、複素数空間では d に比例する——これにより、均一な安定性において見られる指数的「次元の呪い」を回避する。

ABSTRACT

This paper is concerned with stable phase retrieval for a family of phase retrieval models we name "locally stable and conditionally connected" (LSCC) measurement schemes. For every signal $f$, we associate a corresponding weighted graph $G_f$, defined by the LSCC measurement scheme, and show that the phase retrievability of the signal $f$ is determined by the connectivity of $G_f$. We then characterize the phase retrieval stability of the signal $f$ by two measures that are commonly used in graph theory to quantify graph connectivity: the Cheeger constant of $G_f$ for real valued signals, and the algebraic connectivity of $G_f$ for complex valued signals. We use our results to study the stability of two phase retrieval models that can be cast as LSCC measurement schemes, and focus on understanding for which signals the "curse of dimensionality" can be avoided. The first model we discuss is a finite-dimensional model for locally supported measurements such as the windowed Fourier transform. For signals "without large holes", we show the stability constant exhibits only a mild polynomial growth in the dimension, in stark contrast with the exponential growth which uniform stability constants tend to suffer from; more precisely, in $R^d$ the constant grows proportionally to $d^{1/2}$, while in $C^d$ it grows proportionally to $d$. We also show the growth of the constant in the complex case cannot be reduced, suggesting that complex phase retrieval is substantially more difficult than real phase retrieval. The second model we consider is an infinite-dimensional phase retrieval problem in a principal shift invariant space. We show that despite the infinite dimensionality of this model, signals with monotone exponential decay will have a finite stability constant. In contrast, the stability bound provided by our results will be infinite if the signal's decay is polynomial.

研究の動機と目的

• 高次元または無限次元空間における位相再構成の不安定性に対処し、均一な安定性定数が次元とともに指数的に増加するのを防ぐ。
• 測定空間における信号固有の接続性に基づいて、位相再構成の安定性を局所的に特徴づける安定性フレームワークを構築する。
• 特に局所的にサポートされた測定に対して、位相再構成における「次元の呪い」を回避できる条件を同定する。
• 位相再構成の安定性と、チーヘル定数や代数的連結度といったグラフ理論的測度との間の定量的関係を確立する。
• 有限次元のウィンドウ付きフーリエ変換と無限次元のシフト不変空間の2つのモデルを、LSCCフレームワークの下で分析する。

提案手法

• 各信号 $ f $ に対して、辺が測定の重なりを表し、重みが信号係数から導かれる重み付きグラフ $ G_f $ を定義する。
• 実数値信号に対しては $ G_f $ のチーヘル定数を用いて局所的安定性を定量化し、複素数値信号に対しては代数的連結度を用いる。
• 位相再構成可能性と $ G_f $ の接続性の間の関係を確立し、連結なグラフが安定な位相再構成を意味することを示す。
• スペクトルグラフ理論を用いて、最小の非ゼロ固有値（代数的連結度）と辺拡張（チーヘル定数）を用いて安定性定数の上限を導出する。
• ウィンドウ付きフーリエ測定を用いた有限次元モデルを分析し、信号に大きな空洞がない場合に安定性定数が多項式的に増加することを証明する。
• 結果を無限次元のシフト不変空間に拡張し、単調な指数的減衰を示す信号に対しては有限の安定性定数が得られることを示すが、多項式的減衰の場合は無限大の境界が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元または無限次元空間において、位相再構成の安定性を一様ではなく、局所的に特徴づけることは可能か？
• RQ2 測定から誘導されるグラフ $ G_f $ の接続性は、与えられた信号 $ f $ における位相再構成の安定性とどのように関係するか？
• RQ3 信号および測定システムにどのような条件下で、「次元の呪い」——安定性定数の指数的増加——を回避できるか？
• RQ4 特に、大きな空洞のない信号に対して、有限次元のウィンドウ付きフーリエ位相再構成における安定性定数の増加率はどのようになるか？
• RQ5 シフト不変空間における無限次元位相再構成では、指数的減衰を示す信号に対して有限の安定性定数が得られるか？

主な発見

• 実数値信号の $ \mathbb{R}^d $ において、LSCCフレームワーク下では安定性定数が $ d^{1/2} $ に比例して増加するが、指数的増加を回避する。
• 複素数値信号の $ \mathbb{C}^d $ において、安定性定数は $ d $ に比例して増加し、これは減少できないため、複素数位相再構成における根本的な困難を示している。
• 係数のサポートに大きな空洞のない信号は、高次元であっても安定な位相再構成を示し、安定性定数の増加は僅かな多項式的増加にとどまる。
• 無限次元のシフト不変空間では、単調な指数的減衰を示す信号に対しては有限の安定性定数が得られ、多項式的減衰の場合は得られない。
• 実数値位相再構成において、$ G_f $ のチーヘル定数は安定性定数の下界をなす。同様に、複素数値の場合、代数的連結度が同じ役割を果たす。
• LSCCフレームワークは、グラフ理論的測度を通じて位相再構成安定性を鋭く特徴づけ、均一な安定性境界を超えた分析を可能にする。