[論文レビュー] Stable Phaseless Sampling and Reconstruction of Real-Valued Signals with Finite Rate of Innovations

Cheng Cheng, Qiyu Sun|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2018

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、離散的集合上の大きさ測定値を用いて、有限のイノベーションレート（FRI）を持つ実数値信号の位相なしサンプリングおよび再構成のための安定的で線形計算量のアルゴリズムを提示する。位相再構成可能性が信号のイノベーション構造のグラフの連結性と等価であることを確立し、同じ大きさ測定値を持つすべての信号を連結成分分解を用いて完全に特徴づける。

ABSTRACT

A spatial signal is defined by its evaluations on the whole domain. In this paper, we consider stable reconstruction of real-valued signals with finite rate of innovations (FRI), up to a sign, from their magnitude measurements on the whole domain or their phaseless samples on a discrete subset. FRI signals appear in many engineering applications such as magnetic resonance spectrum, ultra wide-band communication and electrocardiogram. For an FRI signal, we introduce an undirected graph to describe its topological structure. We establish the equivalence between the graph connectivity and phase retrievability of FRI signals, and we apply the graph connected component decomposition to find all FRI signals that have the same magnitude measurements as the original FRI signal has. We construct discrete sets with finite density explicitly so that magnitude measurements of FRI signals on the whole domain are determined by their samples taken on those discrete subsets. In this paper, we also propose a stable algorithm with linear complexity to reconstruct FRI signals from their phaseless samples on the above phaseless sampling set. The proposed algorithm is demonstrated theoretically and numerically to provide a suboptimal approximation to the original FRI signal in magnitude measurements.

研究の動機と目的

• 実数値FRI信号を位相のない測定値、すなわち大きさ測定値から安定的かつ一意に再構成する課題に対処する。
• FRI信号がその大きさ情報からグローバル符号を除き一意に再構成可能となる条件を特定する。
• 有限密度を持つ離散的集合における位相のないサンプルからFRI信号を再構成する実用的で計算効率の良いアルゴリズムを開発する。
• すべてのFRI信号に対して位相再構成可能性を保つために必要なサンプリング密度の理論的限界を確立する。

提案手法

• FRI信号のイノベーション位置と基本関数に基づき、そのトポロジカル構造をモデル化するための無向グラフ表現 ${\mathcal{G}}_f$ を導入する。
• 位相再構成可能性（すなわち ${\mathcal{M}}_f = \{\pm f\}$）が成立するための必要十分条件として、${\mathcal{G}}_f$ が連結であることであることを証明する。
• ${\mathcal{G}}_f$ の連結成分分解を用いて、${\mathcal{M}}_f$ に属するすべての信号を明示的に構成し、それらが非連結な島にサポートされる信号成分の符号付き組み合わせであることを示す。
• 全領域における大きさ測定値が、有限密度を持つこれらの集合上のサンプルによって保持されるような離散的位相のないサンプリング集合を構築する。
• ノイズが含まれる位相のないサンプルからFRI信号を再構成するための安定的で線形計算量の方法であるMAPSアルゴリズムを提案する。
• 理論的安定性バウンドを確立し、大きさ測定値における再構成誤差の最大値がノイズレベルにほぼ線形に比例することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数値FRI信号がその大きさ測定値からグローバル符号を除き一意に再構成可能となる条件は何か？
• RQ2 与えられたFRI信号と同一の大きさ測定値を持つすべての信号を体系的に特徴づける方法は何か？
• RQ3 すべてのFRI信号に対して位相再構成可能性を保つために必要な位相のないサンプリング集合の最小サンプリング密度は何か？
• RQ4 ノイズが含まれる位相のないサンプルから、誤差の成長が制御可能な安定的で低計算量のアルゴリズムでFRI信号を再構成できるか？
• RQ5 FRI信号のトポロジカル構造（そのグラフを介して）とその位相再構成可能性の関係は何か？

主な発見

• FRI信号の位相再構成可能性は、関連する無向グラフ ${\mathcal{G}}_f$ の連結性と等価である。
• 信号 $f$ と同一の大きさ測定値を持つすべての信号は、その連結成分信号の符号付き組み合わせに正確に一致する。すなわち ${\mathcal{M}}_f = \left\{ \sum_{i \in I} \delta_i f_i : \delta_i \in \{-1,1\} \right\}$ である。
• 提案されたMAPSアルゴリズムは、線形計算量の安定的再構成を達成し、再構成誤差の最大値 $E_\eta$ がノイズレベル $\eta$ にほぼ線形に増加する。
• 数値結果により、ノイズレベル $\eta = 0.04$ の場合、最大誤差 $E_\eta = 0.1878$ であり、$\eta = 0.001$ の場合 $E_\eta = 0.0025$ であることが確認され、ほぼ線形の依存関係が示された。
• 任意の位相のないサンプリング集合 $\Gamma$ の上密度は、$D_+(\Gamma) \geq D_+(\Lambda)$ を満たさなければならない。ここで $D_+(\Lambda)$ は信号のイノベーションレートである。
• 基本関数が互いに台を disjoint に持つ場合、イノベーションレートに等しい密度を持つサンプリング集合が可能であり、このサンプリング密度の下限はタイトである。