[論文レビュー] Stable prescribed-mean-curvature integral varifolds of codimension 1: regularity and compactness

Costante Bellettini, Neshan Wickramasekera|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、一般のリーマン多様体における $g \in C^{1,\alpha}$ の所定の平均曲率をもつ codimension-1 整数変分の正則性およびコンパクト性理論を確立する。有限モーレ・インデックスおよび弱化された構造的条件の下で、このような変分は特異集合の codimension $\geq 7$ を除き $C^2$ に埋め込まれた超曲面であり、平均曲率 $g\nu$ をもつことを証明する。また、一様な質量境界の下でコンパクトなクラスを同定し、従来の CMC 結果を一般の $g$ に拡張する。結果は、カッチョッポリ集合の削減境界に適用され、位相遷移問題に適用可能な抽象的正則性定理を導く。

ABSTRACT

In a previous paper we developed a regularity and compactness theory in Euclidean ambient spaces for codimension 1 weakly stable CMC integral varifolds satisfying two (necessary) structural conditions. Here we generalize this theory to the setting where the mean curvature (of the regular part of the varifold) is prescribed by a given $C^{1, α}$ ambient function $g$ and the ambient space is a general $(n+1)$-dimensional Riemannian manifold; we give general conditions that imply that the support of the varifold, away from a possible singular set of dimension $\leq n-7,$ is the image of a $C^{2}$ immersion with continuous unit normal $ν$ and mean curvature $gν$. These conditions also identify a compact class of varifolds subject to an additional uniform mass bound. If $g$ does not vanish anywhere, or more generally if the set $\{g=0\}$ is sufficiently small (e.g. if ${\mathcal H}^{n}\,(\{g=0\})=0$), then the results and their proofs are quite analogous to the CMC case. When $g$ is arbitrary however, a number of additional considerations must be taken into account: first, the correct second variation assumption is that of finite Morse index (rather than weak stability); secondly, to have a geometrically useful theory with compactness conclusions, one of the two structural conditions on the varifold must be weakened; thirdly, in view of easy examples, this weakening of a structural hypothesis necessitates additional hypotheses in order to reach the same conclusion. We identify two sets of additional assumptions under which this conclusion holds for general $g$: one of them gives regularity and compactness, the other one gives regularity and is applicable to certain phase transition problems. We also provide corollaries for multiplicity $1$ varifolds associated to reduced boundaries of Caccioppoli sets. In these cases, some or all of the structural assumptions become redundant.

研究の動機と目的

• 一般のリーマン多様体における、安定 CMC 整数変分の正則性およびコンパクト性理論を、所定の平均曲率 $g \in C^{1,\alpha}$ の場合に一般化すること。
• 平均曲率 $g\nu$ をもつ変分の正則部分が、$g$ が正の測度の集合上で 0 になる可能性があるとしても、$C^2$ 埋め込みとして $C^2$ に埋め込まれるための必要十分条件を同定すること。
• 一様な質量境界および有限モーレ・インデックスの下で、このような変分のコンパクト性定理を確立し、CMC フレームワークを一般の $g$ に拡張すること。
• カッチョッポリ集合の削減境界から生じる多重度 1 の変分に対して、構造的仮定が不要になることの証明を通じて、理論を単純化すること。

提案手法

• 所定の平均曲率 $g\nu$ をもつ変分のための $J_g$-定常性および $J_g$-安定性を定義するために、関数 $J_g = A + \mathrm{Vol}_g$ の変分的枠組みを適応する。
• CMC 場合の構造的条件 (ii) の弱化版を導入し、$\{g=0\}$ が正の ${\mathcal{H}}^n$-測度をもつ可能性を許容する。
• $g$ が厳密に正でない場合に弱安定性の代わりに有限モーレ・インデックスの仮定を用いることで、非最小的・非安定解の解析を可能にする。
• 局所的な PDE 評価および局所座標近傍における片側最大値原理を用いて、潜在的特異点付近での変分の挙動を制御する。
• 予備的なシート定理およびシャーケンの不等式を用いて、安定性および定常性仮定から局所的正則性を導出する。
• 変分が汎関数の臨界点でなくてもよい抽象的正則性定理（定理 9.1）を導出し、位相遷移モデルへの広範な適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 codimension-1 整数変分が所定の平均曲率 $g \in C^{1,\alpha}$ をもつとき、特異集合の codimension $\geq 7$ を除き正則（すなわち $C^2$ 埋め込み）であるための条件は何か？
• RQ2 平均曲率が一般の $C^{1,\alpha}$ 関数 $g$ で指定される場合、特に $g$ が正の測度の集合上で 0 になる場合に、安定 CMC 変分のコンパクト性理論をどのように拡張できるか？
• RQ3 $g$ が厳密に正でない場合に、正則性およびコンパクト性を保つために必要な構造的仮定の修正は何か？
• RQ4 カッチョッポリ集合の削減境界から生じる変分に対して、構造的仮定が不要になる場合に、正則性およびコンパクト性の結果が回復可能か？
• RQ5 有限モーレ・インデックスの仮定が、$g$ が任意のとき弱安定性を置き換える役割を果たす仕組みは何か？また、これにより変分の構造にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 有限モーレ・インデックスおよび弱化された構造的条件を満たす変分の正則部分は、codimension $\geq 7$ の特異集合を除き、連続な単位法線および平均曲率 $g\nu$ をもつ $C^2$ 埋め込みである。
• 一様な質量境界および有限モーレ・インデックスの下で、このような変分の族に対してコンパクト性定理が成り立ち、極限変分は同じ正則性および曲率条件を満たす。
• もし $g$ が解析的であり、$\{g=0\}$ の上位ストラトムの任意の非可約成分が最小でないならば、仮定 (b T ) を必要とせず、定理 A.1 の正則性結論が成り立つ。
• カッチョッポリ集合の削減境界に由来する多重度 1 の変分に対して、構造的仮定 (i) および (ii) は不要であり、変分は codimension-$\geq 7$ の特異集合を除き $C^2$ に埋め込まれた $g$-超曲面である。
• 変分が汎関数の臨界点でなくてもよい抽象的正則性定理（定理 9.1）が確立され、PDE を用いた位相遷移モデルへの応用が可能になる。
• 仮定 (b T ) が、非極限的・非準同型埋め込み（例：反対向きの二重シート）を除外するために本質的であることが示され、幾何的に意味のあるコンパクト性を保証する。