[論文レビュー] Stable processes conditioned to avoid an interval

Leif Doering, Andreas E. Kyprianou+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2018

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Hit time 尾尾漸近の導出から得られる調和関数を用いて、Doob $h$-変換を構築することで、固定区間を避けるように条件づけられた安定 Lévy 確率過程の存在を確立する。すべての $\alpha \in (0,2)$ に対して、条件づけられた過程が瞬発的であり、区間 $[-1,1]$ に到達した時点で killed された安定過程の時間変換版として一意に特徴づけられることを証明する。

ABSTRACT

Conditioning Markov processes to avoid a domain is a classical problem that has been studied in many settings. Ingredients for standard arguments involve the leading order tail asymptotics of the distribution of the first hitting time of the domain of interest and its relation to an underlying harmonic function. In the present article we condition stable processes to avoid intervals. The required tail asymptotics in the stable setting for $α\geq 1$ go back to classical work of Blumenthal et al. and Port from the 1960s. For $α<1$, we appeal to recent results centred around the so-called deep factorisation of the stable process to compute hitting probabilities and, moreover, to identify the associated harmonic functions for all $α\in (0,2)$. With these in hand, we thus prove that conditioning to avoid an interval is possible in the classical sense and that the resulting process is a Doob $h$-transform of the stable process killed on entering the aforesaid interval. Appealing to the representation of the conditioned process as a Doob $h$-transform, we verify that the conditioned process is transient.

研究の動機と目的

• 安定 Lévy 確率過程を固定区間を避けるように条件づけることの厳密な定義と構築を試み、ブラウン運動に類する古典的手法を超えて展開する。
• 特に $\alpha < 1$ の場合に標準的な調和関数理論が失敗する困難な状況において、適切な調和関数 $h(x)$ を特定すること。
• 結果として得られる条件づけられた過程が瞬発的であることを証明し、Lévy 確率過程の経路的条件づけに関する既知の結果を拡張すること。
• 安定過程の全インデックス範囲 $\alpha \in (0,2)$ にわたる一貫性のある取り扱いを統合すること、特に安定過程およびコーシー過程を含む。
• 安定設定における区間回避のための Doob $h$-変換構成の有効性を、深い因数分解およびポテンシャル論的道具を用いて確立すること。

提案手法

• 区間 $[-1,1]$ に到達した時点で killed された安定過程の時間変換版として、条件づけられた過程を Doob $h$-変換を用いて構築する。
• $\alpha \geq 1$ の場合、Blumenthal と Port（1960年代）のヒット時間の尾尾漸近の古典的結果に依拠する。
• $\alpha < 1$ の場合、安定過程の深い因数分解に関する最近の結果を応用し、ヒット確率を計算し、調和関数 $h(x)$ を同定する。
• 殺されたポテンシャル測度 $U_{[-1,1]}(x, \cdot)$ を用いたポテンシャル論的議論により、可積分性と瞬発性を検証する。
• Getoor の瞬発性基準を適用し、$[-1,1]$ の外側の有界集合で期待寿命が有限であることを確認することで、$h(y)/h(x)$ に対する評価と $u^{[-1,1]}(x,y)$ の可積分性を用いる。
• Profeta と Simon（2014）の結果を用いて、$U_{[-1,1]}(x,[-d,d])$ の有限性（$|x|>1$, $d>1$）を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定 Lévy 確率過程は、ブラウン運動が正に保たれるように条件づけるのと同様の古典的意味で、固定区間を避けるように意味的に条件づけられるか？
• RQ2 特に $\alpha < 1$ の場合に、安定過程が区間を避けるように条件づけられる Doob $h$-変換を特徴づける適切な調和関数 $h(x)$ は何か？
• RQ3 結果として得られる条件づけられた過程は瞬発的か？ そして、ポテンシャル論的道具を用いてどのように証明できるか？
• RQ4 安定過程の経路の不連続性は、拡散過程と比較して、条件づけられた過程の構築と性質にどのように影響を与えるか？
• RQ5 安定過程の深い因数分解は、$\alpha < 1$ の範囲でヒット確率と調和関数を計算するために活用可能か？

主な発見

• すべての $\alpha \in (0,2)$ に対して、条件づけられた過程は存在し、区間 $[-1,1]$ に到達した時点で killed された安定過程の $h$-変換として一意に特徴づけられる。
• $\alpha \in (0,1)$ の場合、調和関数 $h(x)$ は安定過程の深い因数分解を用いて構築され、一般に正の調和関数が存在しないにもかかわらず、条件づけが可能であることを可能にする。
• ポテンシャル測度 $U_{[-1,1]}(x,[-d,d])$ は、すべての $|x|>1$ および $d>1$ に対して有限であり、これは瞬発性の証明に不可欠である。
• 条件づけられた過程は、$\mathbb{E}^{\updownarrow,x}\left[\int_0^\infty \mathbf{1}_{\{X_t \in [-d,d]\}} dt\right] < \infty$ の有限性を示すことにより、Getoor の基準を満たすことで、瞬発的であることが示された。
• 最初のヒット時間 $T_{[-1,1]}$ の尾尾漸近が $s \to \infty$ のとき $s^{1-1/\alpha}$ のオーダーであることが示され、これが調和関数の構成の根拠となっている。
• 調和関数 $h(x)$ は $x \to \infty$ のとき $x^{\alpha\rho - 1}$ と漸近的に同値であり、$x \to -\infty$ のときにも同様の振る舞いを示すため、$h$-変換が適切に定義されていることが保証される。